Arranjo e Combinação

por Biancamariabs Ter 13 Jun 2017, 21:55

Uma pessoa dispõe de 5 blocos de papel colorido nas
cores azul, amarelo, verde, branco e rosa, sendo cada um
deles de uma única cor, e irá utilizar 3 folhas para
anotações. O número total de maneiras possíveis de essa
pessoa escolher essas 3 folhas, sendo pelo menos 2 delas
de uma mesma cor, é
a) 22.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 25. (resposta certa)
Eu consegui fazer depois de alguma tentativas da mesma forma que o site Objetivo fez:
5x4 = 20 e 20 + 5 = 25 formas de escolher estas folhas, sendo pelo menos 2 delas de uma mesma cor.

Tentei antes achar todas as possibilidades e depois subtrair do total as possibilidades de cores diferentes, gostaria de saber por que dessa forma não acho o resultado correto: 5.5.5 (total) - 5.4.3 (cores diferentes)

por **Elcioschin** Qui 15 Jun 2017, 12:48

2 Az + 1 Am + 1 Vd + 1 Br + 1 Ro ---> 4 possibilidades

Idem para 2 Am, 2 Vd, 2 Br, 2 Ro ---> Total parcial = 4.5 = 20 possibilidades

Três iguais: 3 Az, 3 Am, 3 Vd, 3 Br, 3 Ro ---> 5 possibilidades

Total geral = 20 + 5 = 25

por powermetal Sex 02 Out 2020, 00:15

[size=18]Tbm estou com a msm dúvida .
Tbm tentei achar todas as possibilidades e depois subtrair do total as possibilidades de cores diferentes, tbm gostaria de saber por que dessa forma não acho o resultado correto: 5.5.5 (total) - 5.4.3 (cores diferentes)[/size]

por **Elcioschin** Sex 02 Out 2020, 10:33

Vou explicar de modo diferente. Para facilitar sejam A, B, C, D, E as 5 cores.

Quer-se escolher 3 cores de modo que sejam, pelo menos, duas cores iguais.

O termo pelo menos, significa que podem ser duas cores iguais ou três cores iguais

1) Três cores iguais: AAA, BBB, CCC, DDD, EEE ---> 5 possibilidades

2) Duas cores iguais

AAB, AAC, AAD, AAE ---> 4 possibilidades

ABB, BBC, BBD, BBE ---> 4 possibilidades

ACC, BCC, CCD, CCE ---> 4 possibilidades

ADD, BDD, CDD, DDE ---> 4 possibilidades

AEE, BEE, CEE, DEE ---> 4 possibilidades

Total = 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 25

por powermetal Sex 02 Out 2020, 16:58

Consegui compreender sua resolução mestre . O meu problema é que não consigo ver pq é errado fazer o total de formas de escolher 5.5.5 = 125 menos o total de formas com as 3 cores diferentes C53 =10

por carlosRamirez Sex 04 Dez 2020, 11:21

Tentando ajudar aqueles que tentaram resolver da forma:
(quantidade total de casos) - (formas de escolher 3 cores distintas)

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** (quantidade total de casos)
Nesse problema, a quantidade total de casos será dada por Combinações completas ou com repetição, com isso o total de casos é dado pela combinação de 7 elementos com repetição de 3 e 4.

Arranjo e Combinação TYAzWGAX7RkAAAAASUVORK5CYII=

Arranjo e Combinação TYAzWGAX7RkAAAAASUVORK5CYII=

Fazer uma escolha de 3 cores (distintos ou não) quando há 5 opções de escolha pode ser reescrito como um sistema das soluções inteiras e não negativas da equação:
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 3

, onde X1, X2,...,X5 representa cada uma das cores

Algumas das possíveis soluções do sistema seriam:

1+1+1+0+0 = 3
2+1+0+0+0 = 3
3+0+0+0+0 = 3
...

Enfim, se cada unidade fosse representada por um símbolo ●
poderiamos reescrever o sistema:

●+●+●++ = 3
●●+●+++ = 3
●●●++++ = 3

Veja que todas as soluções possíveis representam sempre um mesmo padrão:
3 ● ou 3 unidades
4 elementos +

ou seja, cada solução é uma permutação, uma troca de posição, dos elementos ● e +

Total de elementos = 7
Elementos ● (ou unidades ou cores distintas ou não) = 3
Elementos + = 4

$Arranjo e Combinação C:\Users\rcp\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002$

---------------------------------------------------

** (formas de escolher 3 cores distintas)
de quantos modos podemos escolher 3 cores diferentes, em um total de 5 cores?
C5,3 = 10. Essas 10 possibilidades representam as combinações simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.
---------------------------------------------------
Assim a solução final seria

35 – 10 = 25