Permutações simples

Inicialmente, devemos escolher três números do dez possíveis para compor a senha de quatro dígitos. Há C10,3 = 120 modos de realizar essa escolha. 

Escolhido os números, devemos, ainda, escolher um deles para repetir, há 3 formas de fazermos isso. Por fim, basta permutá-los, há P4,2 = 6 modos de permutá-los (foi utilizada a permutação com elementos repetidos aqui, já que dois dos números escolhidos são repetidos).

120*3*6 = 2160 possibilidades.


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Você tem certeza que o gabarito é 6 horas? 

Irei pensar com mais cuidado no problema, mas a princípio a resposta é o item D.

Primeiramente eu pensei igual a você e também achei 4 horas

Mas fazendo por exclusão dos casos diferentes achei 6,375 horas...
por exclusão eu quis dizer pegar todas a possíveis senhas e subtrair das que tem nenhum dígito igual, 3 dígitos iguais e 4 dígitos iguais  a fim de chegar no número de senhas com apenas dois dígitos iguais

Pensei em:
senhas com nenhum dígito igual: 10 * 9 * 8 * 7  = 5040

senhas com três dígitos iguais: 10 * (1 * 1 * 1 * 9) = 90   --- multiplica por 4 pra permutar a posição desses dígitos iguais ::: 90 * 4 = 360

senhas com quatro dígitos iguais: 10 * (1 * 1 * 1 * 1) = 10

5040 + 360 + 10 = 5410 

Todas as senhas = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000

10000 - 5410 = 4590 senhas com apenas dois dígitos iguais

4590 x 5 = 22950 segundos

22950 / 3600 = 6,375 horas


aguardo outros comentários

Olá, magcamile

Relendo a minha solução encontrei meu erro, observe a seguinte passagem:

"Por fim, basta permutá-los, há P4,2 = 6 modos de permutá-los"


Na permutação de 4 elementos, sendo dois deles repetidos, o número de formas de fazermos isso é 12, e não 6 como eu coloquei ali.


Assim, teremos, no final: 120*3*12 = 4320 possibilidades.


O que gera uma resposta próxima de 6 horas, de fato. Como a minha resposta deu diferente da sua, tentarei ver se ainda há outro erro.

Mateus, tudo fez sentido agora! Cometi outra vez o erro de usar permutações simples no lugar de combinações.

Obrigado a todos pela ajuda.

Cara, não sei se eu resolvi a questão.

A minha resposta está diferente da que a magcamille encontrou, mas eu não consegui encontrar erros em nenhuma das duas.

Vamos discutir um pouco mais a respeito

YZXX ---> Y ≠ X  e Z ≠ X ---> P(4, 2) = 12

Existem 10 possibilidades para XX ---> 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

Possibilidades para Y e Z, considerando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC):

Para Y ---> 9 possibilidades (não pode ser X)
Para Z ---> 8 possibilidades (não pode ser X nem Y)

9.8 = 72 possibilidades

Por exemplo, para X = 0, as senhas seriam, na ordem: 0012, 0013, 0014 .... 0096, 0097, 0098

Total de senhas = 12.10.72 = 8 640

t = 8 640.5/3 600 ---> t = 12 h

Notem que o tempo de 5 s é entre cada duas senhas, logo o tempo total vale realmente 8 639.5/3600 ~= 12 h

Neste caso não existiria nenhuma alternativa que atenda. Será que existe algum dado errado no enunciado? Será que eu interpretei errado o enunciado?

Qual a opinião de vocês?

Elcio, boa tarde

Eu discordo um pouco da seguinte passagem:

Elcioschin
Possibilidades para Y e Z, considerando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC): 

Para Y ---> 9 possibilidades (não pode ser X)
Para Z ---> 8 possibilidades (não pode ser X nem Y)

9.8 = 72 possibilidades


Qual a opinião de vocês?

Inicialmente, na sua contagem, é feita a permutação dos 4 elementos (12 formas). Feito isso, eu acredito que seja necessário escolher os elementos Y e Z por combinação, pois quando nós escolhemos Z = 5 e Y = 4, por exemplo, e permutamos esses dois números (através do P(4, 2) = 12) um dos casos resulta nós trocarmos o 4 de lugar com o 5, que corresponde ao Y = 5 e Z =4  (cada caso estaria sendo contado duas vezes).

Se fizermos:

"Existem 10 possibilidades para XX ---> 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99


Escolhas para Y e Z, C(9,2) = 36



YZXX ---> Y ≠ X  e Z ≠ X ---> P(4, 2) = 12



10.12.36 = 4320"


Que corresponde ao mesmo número que eu cheguei. O que o senhor acha?


Eu fiquei pensando nesse problema e nas resoluções daqui do tópico por uns dias e ainda não consigo entender porque minha contagem está dando diferente da que a camile apresentou.

Eu não sei se expliquei muito bem o que eu quis dizer, mas a ideia é que eu tentei passar é que os números estão sendo contados por P.F.C (onde a ordem importa) e depois eles estão sendo permutados.

Explicou muito bem e concordo contigo: deve-se usar C(9, 2) e não o PFC.
Deve ser feita apenas uma correção final: como são 4320 senhas, são 4319 intervalos de  5 s

t = 4319.5/3600 ---> t ~= 6 h

Eu também não consegui detetar erro na solução da colega magcamile.