Na figura, o segmento AB, que mede 12√3 cm, tangencia
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Na figura, o segmento AB, que mede 12√3 cm, tangencia
por powermetal Qua 12 Set 2018, 10:42
Na figura, o segmento AB, que mede 12√3 cm, tangencia os círculos de centros O e O’, cujas áreas são, respectivamente, 64π cm² e 16π cm², e o círculo β, cujo centro pertence ao segmento OO’, tangencia os círculos de centro O e O’.
O comprimento do círculo β, em cm, é
(A) 8π.
(B) 12π.
(C) 14π.
(D) 16π.
(E) 20π.
RESPOSTA B
O comprimento do círculo β, em cm, é
(A) 8π.
(B) 12π.
(C) 14π.
(D) 16π.
(E) 20π.
RESPOSTA B
Última edição por powermetal em Qua 12 Set 2018, 17:49, editado 1 vez(es)
powermetal- Jedi
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Re: Na figura, o segmento AB, que mede 12√3 cm, tangencia
por Elcioschin Qua 12 Set 2018, 11:13
Sejam:
r o raio do círculo β
P o ponto de tangência do círculo de centro O com β
Q o ponto de tangência do círculo de centro O' com β
C o centro do círculo β
M o ponto de encontro de AB com O'O
Trace OA = 8 e O'B = 4 ---> OA é paralelo a O'B
O'O = 8 + 2.r + 4 ---> O'O = 2.r + 12 ---> I
Macete (bizu) ---> Prolongue AO até um ponto D, tal que OD = 4 e trace DB ---> DB = O'O ---> DB = 2.r + 12
DA = OD + OA ---> DA = 4 + 8 ---> DA = 12
No triângulo retângulo DAB ---> DB² = DA² + AB² ---> (2.r + 12)² = 12² + (12√3)² ---> (2.r + 12)² = 576
2.r + 12 = 24 ---> r = 6 cm
p = 2.pi.r ---> p = 2.pi.6 ---> p = 12.pi
r o raio do círculo β
P o ponto de tangência do círculo de centro O com β
Q o ponto de tangência do círculo de centro O' com β
C o centro do círculo β
M o ponto de encontro de AB com O'O
Trace OA = 8 e O'B = 4 ---> OA é paralelo a O'B
O'O = 8 + 2.r + 4 ---> O'O = 2.r + 12 ---> I
Macete (bizu) ---> Prolongue AO até um ponto D, tal que OD = 4 e trace DB ---> DB = O'O ---> DB = 2.r + 12
DA = OD + OA ---> DA = 4 + 8 ---> DA = 12
No triângulo retângulo DAB ---> DB² = DA² + AB² ---> (2.r + 12)² = 12² + (12√3)² ---> (2.r + 12)² = 576
2.r + 12 = 24 ---> r = 6 cm
p = 2.pi.r ---> p = 2.pi.6 ---> p = 12.pi
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Na figura, o segmento AB, que mede 12√3 cm, tangencia
por adriano100 Qua 12 Set 2018, 11:45
Outra solução possível:
Chame de X o ponto em que OO' e AB se cruzam.
Note que ∆ OAX ~ ∆ OBX (triângulos são similares),
Podemos calcular facilmente OA=8 e O'B=4 que são raios dos círculos com área conhecida.
Logo, usando similaridade, sabemos que
AX/BX=OA/O'B ou AX/BX=8/4=2
Mas, AB=AX+BX (o ponto X divide AB na razão 2:1).
Resolvendo chegamos a AX=8√3 e BX=4√3.
Ai é só achar OX e O'X por Pitagoras, dado que sabemos OA e O'B.
Como OO'=OX+O'X, o diâmetro d do círculo β será dado por d=OO'-OA-O'B.
Conhecido o diâmetro do circulo β, seu perímetro será dado por: π d
Resolvendo numericamente os últimos passos, chegará ao mesmo resultado obtido pelo mestre Elcioschin.
Chame de X o ponto em que OO' e AB se cruzam.
Note que ∆ OAX ~ ∆ OBX (triângulos são similares),
Podemos calcular facilmente OA=8 e O'B=4 que são raios dos círculos com área conhecida.
Logo, usando similaridade, sabemos que
AX/BX=OA/O'B ou AX/BX=8/4=2
Mas, AB=AX+BX (o ponto X divide AB na razão 2:1).
Resolvendo chegamos a AX=8√3 e BX=4√3.
Ai é só achar OX e O'X por Pitagoras, dado que sabemos OA e O'B.
Como OO'=OX+O'X, o diâmetro d do círculo β será dado por d=OO'-OA-O'B.
Conhecido o diâmetro do circulo β, seu perímetro será dado por: π d
Resolvendo numericamente os últimos passos, chegará ao mesmo resultado obtido pelo mestre Elcioschin.
adriano100- Iniciante
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