Prismas

Dois prismas de geometria
idêntica, mas índices de refração ligeiramente diferentes (n1 e n2),
são acoplados na forma da figura. Quando um raio de luz laser
atinge a base de um dos prismas perpendicularmente a sua superfície,
o raio de luz refratado é levemente desviado de um pequeno
ângulo f, conforme a figura. Determine a diferença entre os índices
de refração dos dois prismas como função de θ e ϕ;. Considere
que estão medidos em radianos e que o meio externo é o vácuo.
Considere os ângulos pequenos tal que sen (θ) =  θ e sen (ϕ) = ϕ;.


Gab.: n1 - n2 = ϕ/θ ( theta e phi em radianos )

Grato!

Faça um bom desenho:

1) Sejam M, N os pontos esquerdo e direito da superfície superior do prisma n2,  P o ponto de incidência na superfície inferior de n1 e Q o ponto de saída do raio final refratado
2) Prolongue o raio incidente até encontrar a superfície de separação dos prismas no ponto A.
3) Pelo ponto A trace a normal N' à superfície, prologando-a até o ponto B na superfície MN e ultrapassando esta superfície até o ponto C. Prolongue N' também para baixo até encontrar a superfície inferior do prisma n1 em D
4) Prolongue a reta tracejada que passa por Q (normal da superfície superior de n2) até encontra a superfície de separação dos dois prismas em E

P^DA = 90º - θ --> PÂD = θ ---> C^BM = 90º - θ ---> A^BQ = 90º - θ


Seja β = BÂQ ---> BÂQ + A^BQ + A^QB = 180º ---> (90º - θ) + β + A^QB = 180º --> A^QB = 90º + θ - β 


A^QE = 90º - A^QB ---> A^QE = 90º - (90º + θ - β ) ---> A^QE = β - θ ---> ângulo de incidência em MN 


n1.senθ = n2.senβ ---> n2.β = n1.θ ---> I


n2.sen(β - θ) = n(ar).senφ ---> n2.(β - θ) = 1.φ ---> n2.β - n2.θ = φ ---> II


I em II ---> n1.θ - n2.θ = φ ---> θ.(n1 - n2) = φ ---> n1 - n2 = φ/θ

Opa, eu desenhei mais uma normal e cheguei à uma conclusão estranha : 


θ = 0 ? ( Vejam a soma do trapézio ) Onde estou errando ?

O ângulo superior esquerdo do trapézio NÃO vale 90º: a reta de separação dos dois meios é inclinada. Este ângulo vale 90º + θ

Veja se o desenho está bom : 

Sim está bom.

Mas está faltando a normal N' à superfície XN, no ponto A. Com base nesta normal eu e o colega Lucas desenvolvemos todos os cálculos

Por que no desenho do Lucas não ocorre refração ?

Houve refração sim, pois mudou de meio. Não houve desvio, pois se um raio incide perpendicularmente, não há desvio.

ni.sen(i) = nr.sen(r)
1.sen(0°) = nr.sen(r)
0 = nr.sen(r) --> como nr ≠ 0, sen(r) = 0 ---> r = 0°