Inequação- IFSP

por mari Seg 09 Jul 2018, 12:25

Para que a função $f(x)=\sqrt{x^{2}-10x+k}$ , em que x e k são números reais, reja definida para qualquer valor de x, k deverá ser um número tal que

gabarito:

condição de existência

x²-10x+k≥0

Porque tenho que inverter ≥ para ≤ quando vou fazer ∆? Observe:

$\left (-10^{2} \right )-4.1.k\leq 0$

100-4k≤0
-4k≤-100
k≥25

por **Giovana Martins** Seg 09 Jul 2018, 12:36

Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma inequação por um número negativo a desigualdade sofre uma inversão.

Um coisa que poderíamos ter feito neste caso:

100-4k ≤ 0 => 100 ≤ 4k que é o mesmo que dizer 4k ≥ 100. Daí:

4k ≥ 100 => k ≥ 25

por mari Seg 09 Jul 2018, 13:42

Certo, obrigada.

1) Ao demonstrar o delta eu devo inverter o sinal da inequação?
segue:

(-10)² - 4.1.k ≤ 0

2) Ou eu poderia fazer dessa forma que estaria correto? Sempre com o sinal da inequação igual... Segue:

x²-10x+k ≥ 0
(-10)² - 4.1.k ≥ 0
100-4k ≥ 0
4k ≥ 100

por felippe83 Seg 09 Jul 2018, 14:04

Não acho que houve uma inversão, mas uma aplicação de propriedes:

∆=(-10)² - 4.1.k
∆=100-4k

Quando ∆≤0, para qualquer valor de x um trinômio ax²+bx+c(no caso x²-10x+k) terá valor positivo ou igual a zero, a condição de existência que você determinou. Por isso:

100-4k≤0
4k≥100
k≥25

por mari Seg 09 Jul 2018, 14:15

Felippe, como eu sei que o delta é menor ou igual a zero apenas com essa informação: ∆=100-4k ?

por **Elcioschin** Seg 09 Jul 2018, 14:20

Nesta questão o ∆ tem que ser negativo.

Isto acontece porque, para ∆ < 0 a função não tem raízes reais, isto é, a parábola NÃO corta o eixo x. Como é uma parábola com a concavidade voltada para cima, a parábola estará sempre acima do eixo x, isto é, os valores da função serão sempre positivos, para qualquer valor de x

por felippe83 Seg 09 Jul 2018, 14:32

Exatamente o que o Elcioschin disse. Você não 'sabe' que o delta é menor ou igual a zero, mas um trinômio do segundo grau apresenta sempre valores iguais ao do coeficiente "a"(positivos nesse caso) ou nulos quando ∆≤0, então você aplica isso no delta, que você tem, para conseguir definir o valor de k. Aqui uma imagem do livro que eu uso para estudar que explica um pouco isso, Noções de Matemática, se quiser o resto me manda dm: http://prntscr.com/k4ek7s