Equação do 1°grau

Uma professora de Matemática do 5o ano do Ensino
Fundamental, para dar início a um conteúdo novo, levou
para a sala de aula p bolinhas em uma única caixa.
Ela chamou os alunos α, β, γ à frente da turma e pediu a
cada aluno que, um de cada vez, fizesse retiradas
sucessivas de um mesmo número de bolinhas, conforme
descrito no quadro abaixo:

Sabe-se que:
I - 40 < p < 80
II - Cada aluno, logo após a contagem das bolinhas por
ele retiradas, devolveu todas as bolinhas para a caixa.
III - Não houve erro na contagem por parte dos alunos.
Com base nessas informações, é FALSO que
a) x + y + z > p
b) x e y são primos entre si.
c) y<1/3 p 
d) x-z é um número ímpar

Com as informações da tabela temos:
2x=p (I)
3y + 1=p (II)
5z +2=p (III)

Multiplicando (I) por 15, (II) por 10 e (III) por 6, igualamos os coeficientes das incógnitas e com isso, fica fácil determinar as diferenças entre elas.

Note que fazendo (I) -  (III) obtemos p = 10k + 2
Fazendo (I) - (II), note que 10k + 4 é divisível por 6 
Assim é fácil perceber que  k = 5, logo p = 52. 
x-z=3k+1=16

Com isso, a letra D está errada

Seguindo a sugestão do colega Dylan Chan e detalhando um pouco mais:

2.x = p ---> *15 ---> 30.x = 15.p ----> I
3.y + 1 = p ---> *10 ---> 30.y = 10.p - 10 ---> II
5.z + 2 = p ----> *6 ---> 30.z = 6.p - 12 ---> III

I - III ---> 30.x - (30.z + 12) = 15.p - 6.p ---> 30.(x - z) - 12 = 9.p ---> x - z = (3.p + 4)/10

Devemos ter 3.p + 4 = 10.k ---> 3.p deve terminar em 6 ---> p deve terminar em 2 ---> 40 < p < 80  --->

p = 42, 52, 62, 72

Basta agora testar qual valor de p atende

Para p = 42 ---> x = 21, y = 41/3 ---> Não serve ---> Fazendo p = 52

a) x = 26 ---> y = 17 ---> z = 10 ---> x + y + z = 53 > p ---> Verdadeiro

b) x = 26 e y = 17 ---> x e y são primos entre si ----> Verdadeiro

c) y = 17 ---> 17 < 52/3 ----> Verdadeiro

d) x - z = 26 - 10 ---> x - z = 16 ---> Não é ímpar ---> FALSO

Gabarito correto

O 2º membro 10.k termina em zero

Com 3.p terminando em 6 --> somando 4 termina em zero

Por exemplo: se x = 2 ----> 3.x + 4 = 3.2 + 4 = 10
Por exemplo: se x = 12 ---> 3.x + 4 = 3.12 + 4 = 40