MDC entre m e p

por Pedro29 Sáb 09 Jun 2018, 20:28

Se m = 2².3a.5².7³ e p = 2³.3⁵.5³.7ⁿ.11, e mdc (m,p) = 18.900, entao os valores de a e n são, respectivamente

a) 3 e 1

b) 2 e 3

c) 3 e 2

d) 2 e 2

Gabarito:

por O_Conde_de_Monte_Cristo Sáb 09 Jun 2018, 21:40

Vamos pegando por bocados, ou seja vamos isolar os fatores que já são visivelmente compartilhados por ambos os números e denotamos como X o valor que desconhecemos.
$\\2^{2}\cdot3\cdot5^{2}\cdot X = 18900 \\300\cdot X = 18900 \\X = 63 \\$
Logo decompomos x em fatores primos e vemos que:
$X = 7\cdot 3^{2}$
Dessa forma, N, o expoente de 7 obrigatoriamente é igual a 1, logo é A.
Porém não consigo ver como a pode ser igual a 3, já que desta forma, o mdc seria 6300, deve estar faltando algum expoente

por **PedroX** Sáb 09 Jun 2018, 21:46

m = 2².3a.5².7³
p = 2³.3⁵.5³.7ⁿ.11
mdc (m,p) = 18.900 = 2².3³.5².7

Como a deve ser o maior possível, mas não maior que 3 (por causa do mdc), a=3.
Como 18900 divide por 7 apenas uma vez, n=1.

por O_Conde_de_Monte_Cristo Sáb 09 Jun 2018, 21:51

Sim, vi isso, mas se a = 3, o expoente de 3 é 2, menor que o próprio mdc

por Pedro29 Sáb 09 Jun 2018, 21:59

Percebi que há um erro no enunciado do livro, é 3 elevado a ``a``, não multiplicado.

Dai chega ao resultado 3 e 1 fatorando o 18.900 e comparando as fatorações de ``m`` e ``p``

Agradeço aos dois!