Princípio Fundamental da Contagem
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Princípio Fundamental da Contagem
por Liliana Rodrigues 2/6/2018, 9:54 am
(FGV-2017) Somando todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3 e 4, o resultado será igual a:
a) 2 400
b) 2 444
c) 6 000
d) 6 600
e) 6 660
Eu encontrei essa resolução do Objetivo:
Já vi questões semelhantes e que apontam uma outra forma de resolução, mas achei essa forma que o Obj adotou, um pouco mais tranquila. Mas, mesmo assim, não consegui entender a resolução por completo.
Não entendi o que significa esse P3, e por que ele é 3!
Alguém pode me ajudar??
Grata
a) 2 400
b) 2 444
c) 6 000
d) 6 600
e) 6 660
Eu encontrei essa resolução do Objetivo:
Já vi questões semelhantes e que apontam uma outra forma de resolução, mas achei essa forma que o Obj adotou, um pouco mais tranquila. Mas, mesmo assim, não consegui entender a resolução por completo.
Não entendi o que significa esse P3, e por que ele é 3!
Alguém pode me ajudar??
Grata
Última edição por Liliana Rodrigues em 2/6/2018, 11:27 am, editado 1 vez(es)
Liliana Rodrigues- Estrela Dourada
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Re: Princípio Fundamental da Contagem
por robodesumilde 2/6/2018, 10:37 am
A ideia é somar os dígitos em partes.
isso aqui vai ser um número qualquer formado por 3 dígitos
_._._
se voce fixar um dígito, terá 3x2 formas de variar os outros dois números (pois devem ser distintos).
assim, se o 4 ficar numa casa, ele ficara lá 6 vezes.
se ficar o 4 na primeira casa, terei que serão formados números da forma 4ab.
a soma de todos esses números é 400*6 mais um x que não nos importa, pois estamos contado dígito por dígito.
O mesmo ocorre se ele ficar no meio, 40*6, e no início, 4*6.
Só fazer o mesmo pelos outros e chegara em
100*6*(1+2+3+4) + 10*6*(1+2+3+4) + 1*6*(1+2+3+4)
Espero que eu tenha ajudado
isso aqui vai ser um número qualquer formado por 3 dígitos
_._._
se voce fixar um dígito, terá 3x2 formas de variar os outros dois números (pois devem ser distintos).
assim, se o 4 ficar numa casa, ele ficara lá 6 vezes.
se ficar o 4 na primeira casa, terei que serão formados números da forma 4ab.
a soma de todos esses números é 400*6 mais um x que não nos importa, pois estamos contado dígito por dígito.
O mesmo ocorre se ele ficar no meio, 40*6, e no início, 4*6.
Só fazer o mesmo pelos outros e chegara em
100*6*(1+2+3+4) + 10*6*(1+2+3+4) + 1*6*(1+2+3+4)
Espero que eu tenha ajudado
robodesumilde- Iniciante
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Re: Princípio Fundamental da Contagem
por Hayzel Sh 10/10/2018, 12:50 pm
Eu fiz a combinação de todos os números mesmo, porque não consegui fazer essa linha de raciocínio do objetivo. Mas, olhando a minha resolução, eu consegui entendê-la. Olha:
As possibilidades são:
123
132
134
143
124
142
Agora começando com 2:
213
231
243
234
241
214
Com 3:
312
321
324
342
341
314
Com 4:
432
423
431
413
421
412
Veja que nas unidades, o número 1 aparece 6 vezes (P3 = 3!), eu grifei em vermelho pra dar pra ver melhor. O mesmo acontece para todos os outros algarismos, tanto na casa das unidades, quanto na casa das dezenas e das centenas.
Vamos somar agora todas as unidades:
(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) + (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) + ( 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4)
ou, então, podemos escrever:
1*P3 + 2*P3 + 3*P3 + 4*P3 = (1+2+3+4)*P3 (para as unidades).
Como as dezenas valem 10 vezes mais do que as unidades, temos para a casa das dezenas, de forma análoga:
(10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10) + (20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20) + (30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30) + (40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40) =
= (1+2+3+4)*P3*10
Como as centenas valem 100 vezes mais, para elas fica:
(1+2+3+4)*P3*100
Agora basta somar:
(1+2+3+4)*P3 + (1+2+3+4)*P3*10 + (1+2+3+4)*P3*100 = (1+2+3+4)*P3*(1 + 10 + 100) = 6660
Se você enumerasse todos os números e depois somasse, daria pra chegar na resposta bem rápido. No entanto, se a questão quisesse a soma dos números de 6 algarismos distintos, por exemplo, e não com 3, como pede o enunciado, não daria pra fazer assim e teria que usar o raciocínio do objetivo mesmo.
As possibilidades são:
123
132
134
143
124
142
Agora começando com 2:
213
231
243
234
241
214
Com 3:
312
321
324
342
341
314
Com 4:
432
423
431
413
421
412
Veja que nas unidades, o número 1 aparece 6 vezes (P3 = 3!), eu grifei em vermelho pra dar pra ver melhor. O mesmo acontece para todos os outros algarismos, tanto na casa das unidades, quanto na casa das dezenas e das centenas.
Vamos somar agora todas as unidades:
(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) + (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) + ( 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4)
ou, então, podemos escrever:
1*P3 + 2*P3 + 3*P3 + 4*P3 = (1+2+3+4)*P3 (para as unidades).
Como as dezenas valem 10 vezes mais do que as unidades, temos para a casa das dezenas, de forma análoga:
(10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10) + (20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20) + (30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30) + (40 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40) =
= (1+2+3+4)*P3*10
Como as centenas valem 100 vezes mais, para elas fica:
(1+2+3+4)*P3*100
Agora basta somar:
(1+2+3+4)*P3 + (1+2+3+4)*P3*10 + (1+2+3+4)*P3*100 = (1+2+3+4)*P3*(1 + 10 + 100) = 6660
Se você enumerasse todos os números e depois somasse, daria pra chegar na resposta bem rápido. No entanto, se a questão quisesse a soma dos números de 6 algarismos distintos, por exemplo, e não com 3, como pede o enunciado, não daria pra fazer assim e teria que usar o raciocínio do objetivo mesmo.
Hayzel Sh- Estrela Dourada
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