divisão euclidiana (1)

por killua05 Sáb 18 Jun 2011, 21:16

(PUC) Numa divisão, o dividendo é 427 e o quociente é 12. O divisor e o resto dessa divisão serão respectivamente:

A) o problema admite três soluções
B) o problema admite somente duas soluções
C) o problema admite somente uma solução
D) o problema não tem solução
E) o problema admite infinitas soluções
RESPOSTA: A

olá, eu sei que o exercício é fácil mas não estou conseguindo chegar na resposta.
eu calculei aqui só achei uma solução, divisor é 35 e resto é 7.

por **abelardo** Sáb 18 Jun 2011, 22:00

Posso escrever 427 da seguinte forma: $427=12\cdot k +r$ . Lembrando que $0\leq r < k$ , então procure o maior valor possível para k, que é 35 (Você encontrou uma das soluções possíveis) e o r respectivo será 7... faça a tabela que facilita:

$\left\{\begin{matrix} 427=12\cdot (35)+7\\ 427=12\cdot (34)+19\\ 427=12\cdot (33)+31\\ 427=12\cdot ({\color{Red} 32})+{\color{Red} 43} \end{matrix}\right.$

Veja que a última igualdade não é válida, já que não seguiu a condição inicial. Existem três soluções possíveis.

por **ivomilton** Sáb 18 Jun 2011, 22:10

killua05 escreveu:(PUC) Numa divisão, o dividendo é 427 e o quociente é 12. O divisor e o resto dessa divisão serão respectivamente:

A) o problema admite três soluções
B) o problema admite somente duas soluções
C) o problema admite somente uma solução
D) o problema não tem solução
E) o problema admite infinitas soluções
RESPOSTA: A

olá, eu sei que o exercício é fácil mas não estou conseguindo chegar na resposta.
eu calculei aqui só achei uma solução, divisor é 35 e resto é 7.

Boa noite!

Numa divisão por um divisor qualquer (d), o resto poderá variar desde 0 até d-1.

427 ≥ 12d + 0
12d ≤ 427
d ≤ 427/12 = 35,58...
d ≤ 35 ......................... (I)

427 ≤ 12d + d – 1
427 ≤ 13d – 1
13d ≥ 427 + 1
13d ≥ 428
d ≥ 428/13 = 32,92...
d ≥ 33 ......................... (II)

A intersecção de (I) com (II) dará:
33 ≤ d ≤ 35

Donde concluímos que:
d = { 33,34,35}

Alternativa (A)

Um abraço.

por **abelardo** Sáb 18 Jun 2011, 23:51

Super legal a sua resolução mestre ivomilton. Muito mais elegante. Entre vários outros assuntos, quando vejo resoluções de questões de teoria dos números, o senhor sempre apresenta belíssimas soluções.

por **ivomilton** Dom 19 Jun 2011, 00:57

abelardo escreveu:Super legal a sua resolução mestre ivomilton. Muito mais elegante. Entre vários outros assuntos, quando vejo resoluções de questões de teoria dos números, o senhor sempre apresenta belíssimas soluções.

Boa noite, amigo Abelardo.
É um dom que o Senhor tem me concedido desde menino, esse gosto por números; a Ele, pois, toda honra e toda glória, pois"o homem não pode receber coisa alguma, se do céu não lhe for dada. - João 3:27".

Que o Senhor Jesus lhe conceda um abençoado domingo e próxima semana!