Misturas

Num tanque existem inicialmente V litros de álcool. Retiram-se r litros de álcool e substituem-se por r litros de gasolina; da mistura, restiram-se novamente r litros que são substituídos, também, por r litros de gasolina. Determine a quantidade de álcool existentes no tanque após n operações

Retirando r litros de álcool do tanque, restam nele V - r litros de álcool.

Acrescentando r litros de gasolina temos V - r litros de álcool e r litros de gasolina:

1) Retirando r litros da mistura, são removidos:

Regra de três para álcool e gasolina (n = 1):

V  --- V - r
r ------ A ---> A = (V - r).(r/V) ---> removidos de álcool

V ---- r
r ---- G ---> G = r²/V ---> removidos de gasolina

Restam de álcool  ----> (V - r) - (V - r).(r/V) = (V - r)²/V
Restam de gasolina r - r²/V = (V - r).(r/V)

Acrescentando r litros de gasolina teremos, no final

Álcool = (V - r)²/V
Gasolina = (V - r).(r/V) + r = (2.V - r).(r/V)

2) Retirando r litros da mistura, são removidos:

Regra de três para álcool e gasolina (n = 2)

V ------ (V - r)²/V
r ----------- A ----> A = (V - r)².(r/V)

V ----- (2.V - r).(r/V)
r  ------ G ---> G = (2.V - r).(r²/V)

E assim por diante. Para n retiradas, calcule a fórmula para o que resta de álcool