Misturas

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Misturas

Mensagem por rodocarnot em Seg Dez 04 2017, 21:06

. Um químico está tentando produzir um detergente econômico, utilizando sabão concentrado líquido e água. Ele tem 12 litros de sabão concentrado líquido, e retira 4 litros desse volume e os substitui por água. Em seguida, retira 4 litros da mistura obtida e os substitui por água novamente. Efetuando essa operação por 6 vezes consecutivas, quantos litros de sabão concentrado líquido, aproximadamente, sobraram na mistura?
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Re: Misturas

Mensagem por evandronunes em Ter Dez 05 2017, 21:27

Na primeira retirada sobrarão 8 litro de sabão e 4 de água.

Na segunda retirada teremos que utilizar proporção para saber quanto de sabão e água será retirado, logo seja A a quantidade de sabão que será retirado e B a de água, temos:

\frac{A}{8}=\frac{B}{4}=\frac{A+B}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} , logo  A=\frac{8}{3}.

Portanto, na segunda retirada sobrarão de sabão 8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3} litros e de água 12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3} litros.

Observe que \frac{16}{3}= 8 \cdot \frac{2}{3}=8 \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^1.

Na terceira retirada, usando o mesmo raciocínio sobre a proporção, temos que será retirado \frac{16}{9} litros de sabão. Logo sobrarão \frac{16}{3}-\frac{16}{9}=\frac{32}{9} litros.

Observe que \frac{32}{9}=8 \cdot \frac{4}{9}=8 \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^2.

Seguindo o mesmo raciocínio, temos que a quantidade de sabão na n-ésima retirada será dada por f(n)=8 \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{n-1}.

Assim, para a sexta retirada temos:

f(6)=8 \cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\frac{256}{243}.

Portanto, sobrarão aproximadamente 1,05 litros.

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