Problema - (páginas do livro)

Um livro tem menos de 500 páginas. Se eu as contar de 7 em 7, sobram 4; se as contar de 9 em 9, sobram 5; se as contar de 11 em 11, restam 3. Quantas páginas tem o livro?

Paulo Testoni escreveu:Um livro tem menos de 500 páginas. Se eu as contar de 7 em 7, sobram 4; se as contar de 9 em 9, sobram 5; se as contar de 11 em 11, restam 3. Quantas páginas tem o livro?

Boa noite, Paulo!

7x + 4 < 500 ......... (I)
9y + 5 < 500 ......... (II)
11z + 3 < 500 ....... (III)

Para conseguir resolver, precisaremos encontrar um meio de igualar os restos, porque assim poderesmos relacionar as incógnitas entre si.
Observando que 9 + 5 = 11 + 3, percebe-se que poderemos reduzir de, uma unidade, tanto "y" como "z", de modo a obter:

9(y-1) + 5 + 9 = 9(y-1) + 14 ............... (IV)
11(z-1) + 3 + 11 = 11(z-1) + 14 .......... (V)

9(y-1) + 14 = 11(z-1) + 14
9(y-1) = 11(z-1)
9y - 9 = 11z - 11
11z - 9y = -9 + 11
11z - 9y = 2 → uma equação diofantina (duas incógnitas e apenas uma equação)

Notando que 11-9=2, ou seja, que z=1 e y=1 é uma da soluções dessa equação, temos:
z = 1 + 9k
y = 1 + 11k

Se aplicarmos esses valores de "z" e "y" às equações (IV) e (V), fica:
9(y-1) + 14 = 9(1+11k - 1) + 14 = 99k + 14
11(z-1) + 14 = 11(1 + 9k - 1) + 14 = 99k + 14

Igualando-se o 1º membro de (I) a qualquer uma das equações supra, vem:
7x + 4 = 99k + 14 7x - 99k = 14 - 4
7x - 99k = 10 ...................... (VI)→ outra equação diofantina que passaremos a resolver:

x = (10 + 99k)/7 ................. (VII)
x = 1 + 14k + (3+k)/7 → Como tanto "x" quanto "k" devem ser inteiros e positivos, também o quociente da fração final deverá sê-lo; iremos, então, fazê-la igual a "m":
(3+k)/7 = m
3+k = 7m
k = 7m - 3

Aplicando este vakir de "k" à equação (VII), iremos obter:
x = [10 + 99(7m-3)]/7 = (10 + 693m - 297)/7 = (693m - 287)/7 = 99m - 41

Portanto, temos encontrado os seguintes valores para as incógnitas da equação (VI):
x = 99m - 41 ................ (VIII)
k = 7m - 3

Vamos, agora, verificar os limites dos valores de "x", a partir da equação (I):
7x + 4 < 500
7x < 500 - 4
7x < 496
x < 496/7
x < 70,8...
x ≤ 70

Aplicando-se este valor de "x" à equação (VIII), obteremos:
99m - 41 ≤ 70
99m ≤ 70 + 41
99m ≤ 111
m ≤ 111/99
m ≤ 1,1...
m ≤ 1

Como "m" nãopoderá ser igual a zero, pois tornaria 99m-41 negativo, temos que m=1; portanto, temos:
x = 99m - 41
x = 99*1- 41
x = 58

Valor que aplicado à equação (I), fornecerá a resposta à questão:
7x + 4 = 7*58 + 4 = 406 + 4 = 410

Resposta: O livro deve ter 410 páginas.

Verificação:
410 = 58*7 + 4
410 = 45*9 + 5
410 = 37*11 + 3








Tenha um abençoado domingo e semana entrante!