Ângulo entre duas diagonais concorrentes

por Rainier Sex 27 Abr 2018, 10:59

[Questão de um curso preparatório ITA] : Num polígono regular ABCDE.........., foram traçadas todas as diagonais do vértice A. O ângulo formado pela primeira com a última diagonal é igual ao ângulo externo. Determine quantas diagonais foram traçadas.

R = 3.

OBS: Existe, claro, o método por tentativas, que nesse caso, se usado, não seria muito demorado de se chegar a um resultado. No entanto, demandaria muito mais tempo caso fosse por exemplo um resultado D = 12. Há algum raciocínio que permita montar uma equação para isto?

por **Elcioschin** Sex 27 Abr 2018, 11:20

Seja MNABC..... o polígono sendo N o último e M o penúltimo vértice

Ai = (n - 2).180º/n ---> Ae = 360º/n

A^BC = A^NM = NÂB = Ai

No triângulo ABC (ou no triângulo ANM) ---> B^CA = BÂC = N^MA = NÂM = θ

B^CA + BÂC + A^BC = 180º ---> 2.BÂC + Ai = 180º ---> 2.θ + Ai = 180º ---> 2θ = 180º - Ai

Ângulo entre as diagonais AC e AM ---> MÂC = NÂB - BÂC - MÂN ---> MÂC = Ai - θ - θ --->

MÂC = Ai - 2.θ ---> MÂC = Ai - (180º - Ai) ---> MÂC = 2.Ai - 180º ----> MÂC = 2.(n - 2).180º/n

MÂC = (n - 2).360º/n

Pelo enunciado ---> MÂC = Ae ----> (n - 2).360º/n = 360º/n ---> n - 2 = 1 ---> n = 3