Venda a prazo

por **jota-r** Qui 05 Abr 2018, 17:01

Olá.

1 - Determinada mercadoria, cujo preço a vista é $ 10.000,00, pode ser vendida a prazo segundo diversos planos.
Um comprador deseja pagar não mais de $ 500,00 mensais. Quantos pagamentos deverá fazer se, para o vendedor,
o dinheiro está valendo 16% a.a. com capitalização trimestral?

Resp.: 23 pagamentos de$ 500,00 + 1 pagamento de $ 3,94, 24 meses após a data da compra.

2 - Para os mesmos dados do exercício anterior, quantos pagamentos semestrais de $ 1.000,00 seriam necessários?

Resp.: 21 pagamentos semestrais de $ 1.000,00 + 1 pagamento de $ 589,91, 6 meses após o último pagamento de $ 1.000,00.

Um abraço

por Luiz 2017 Qui 05 Abr 2018, 19:44

jota-r escreveu:Olá.

1 - Determinada mercadoria, cujo preço a vista é $ 10.000,00, pode ser vendida a prazo segundo diversos planos.
Um comprador deseja pagar não mais de $ 500,00 mensais. Quantos pagamentos deverá fazer se, para o vendedor, o dinheiro está valendo 16% a.a. com capitalização trimestral?

Resp.: 23 pagamentos de$ 500,00 + 1 pagamento de $ 3,94, 24 meses após a data da compra.

2 - Para os mesmos dados do exercício anterior, quantos pagamentos semestrais de $ 1.000,00 seriam necessários?

Resp.: 21 pagamentos semestrais de $ 1.000,00 + 1 pagamento de $ 589,91, 6 meses após o último pagamento de $ 1.000,00.

Um abraço

Solução:

Equação geral do valor presente de série uniforme postecipada sob juros compostos:

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

Explicitando n:

n = \frac {\log\left[PMT/\left(PMT - PV\cdot i\right) \right]}{\log(1+i)}

1) Primeiro plano:

PV = 10.000,00
PMT = 500,00
i = 4% a.t. = (1,04)^1/3 - 1 = 0,013159404 a.m.
n = ?

Substituindo valores:

n = \frac {\log\left[500/\left(500 - 10000\cdot 0,013159404\right) \right]}{\log(1+0,013159404)}

n = 23,36183511

Resposta:

n = 23 pagamentos mensais de $ 500,00 + 1 pagamento de $ 180,92 no 24º mês.

visto que 0,36183511 x 500 ≈ 180,92

2) Segundo plano:

PV = 10.000,00
PMT = 1000,00
i = 4% a.t. = (1,04)² - 1 = 0,0816 a.s.
n = ?

Substituindo valores:

n = \frac {\log\left[1000/\left(1000 - 10000\cdot 0,0816\right) \right]}{\log(1+0,0816)}

n = 21,58068257

Resposta:

n = 21 pagamentos semestrais de $ 1000,00 + 1 pagamento de $ 580,68 no 22º semestre.

visto que 0,58068257 x 1000 ≈ 580,68

Obs: a pequena diferença é devida ao número de casas decimais utilizado.

por Luiz 2017 Qui 05 Abr 2018, 20:02

jota-r escreveu:
Resp.: 23 pagamentos de$ 500,00 + 1 pagamento de $ 3,94, 24 meses após a data da compra.

Este valor (3,94) está correto?

Sds.

por **jota-r** Sáb 14 Abr 2018, 12:05

jota-r escreveu:Olá.

1 - Determinada mercadoria, cujo preço a vista é $ 10.000,00, pode ser vendida a prazo segundo diversos planos.
Um comprador deseja pagar não mais de $ 500,00 mensais. Quantos pagamentos deverá fazer se, para o vendedor,
o dinheiro está valendo 16% a.a. com capitalização trimestral?

Resp.: 23 pagamentos de$ 500,00 + 1 pagamento de $ 3,94, 24 meses após a data da compra.

2 - Para os mesmos dados do exercício anterior, quantos pagamentos semestrais de $ 1.000,00 seriam necessários?

Resp.: 21 pagamentos semestrais de $ 1.000,00 + 1 pagamento de $ 589,91, 6 meses após o último pagamento de $ 1.000,00.

Um abraço

Olá.

Taxa efetiva a ser cobrada:

i = 16% a.a. = 16%/4 a.t. = 0,04 a.t.

Resolvendo Item 1:

Supondo que o 1º pagamento seja de $ 500,00 e efetuado na data da compra, equivale a amortizar uma dívida de $ 9.500,00
em prestações mensais postecipadas.

Caso substituamos os pagamentos mensais por pagamentos trimestrais equivalentes e iguais a Y, temos:

Y = 500*FFC (1/3, 0,04):
---->
Y = 500*0,04/[(1+0,04)^(1/3)-1]
---->
Y = 500*0,04/[1,04^(1/3)-1]
---->
Y = 500*3,0397
---->
y = 1519,85

Agora, devemos prucurar um valor de n que satisfaça à igualdade:

9500 = 1519,85*FVA (n, 4%)
---->
9500/1519,85 = (1,04^n - 1)/(1,04^n*0,04)
---->
6,2506 = (1,04^n - 1)/(1,04^n*0,04)
---->
6,2506*(1,04^n*0,04) = (1,04^n - 1)
---->
6,2506*0,04*1,04^n = (1,04^n - 1)
---->
0,25*1,04^n = 1,04^n - 1
---->
0,25*1,04^n - 1,04^n = - 1
---->
1,04^n*(0,25 - 1) = - 1
---->
1,04^n = 1,3333
---->
n = log 1,3333/log 1,04
---->
n =7,34 trimestres

Como em cada trimestre são efetuados 3 pagamentos de $ 500,00 e considerendo que 0,34 > 1/3, conclui-se que são necessários mais 22 pagamentos de $ 500,00,
faltando ainda um pagamento inferior a $ 500,00.

Para se calcular o valor desse pagamento final, aqui indicado por Z, e supondo que seja efetuado um mês após o último pagamento
de $ 500,00, armaremos uma equação de valor com data focal igual à desse último pagamento de $ 500,00 (22 meses após a data
da compra.

Portanto:

9500*(1+0,04)^(7 1/3) = 1519,85* FAC ( 7 1/3, 4%) + Z*(1+0,04)^(-1/3)

Considerando que:

(1+0,04)^(7 1/3) = 1,04^7*1,04^(1/3) = 1,3159*1,0132

FAC ( 7 1/3, 0,04) = FAC (7, 4%) + 1,04^7*FAC (1/3, 4%) = 7,8983 + 1,3159*0,3290 = 7,8983 + 0,4329 = 8,3312

(1+0,04)^(-1/3) = 1,04^(-1/3) = 0,9870

Substituindo esses resultados na equação de valor acima, resulta:

9500*1,3159*1,0132 = 1519,85*8,3312 + 0,9870Z
---->
9500*1,3159*1,0132 - 1519,85*8,3312 = 0,9870Z
---->
3,8895 = 0,9870Z
---->
Z = 3,8895/0,9870
---->
Z = 3,94---->resposta

Obs.: depois resolvo o item 2.

Um abraço.

por **jota-r** Seg 16 Abr 2018, 13:47

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Resp.: 23 pagamentos de$ 500,00 + 1 pagamento de $ 3,94, 24 meses após a data da compra.

Este valor (3,94) está correto?

Sds.

Resolvi a 1ª parte do exercício e tirei a prova. O pagamento de $ 3,94 está correto. A propósito, você fez a verificação de sua resolução?

por Luiz 2017 Ter 17 Abr 2018, 16:58

jota-r escreveu:
A propósito, você fez a verificação de sua resolução?

Veja abaixo:

Minha resposta para item 1 é:

n = 23 pagamentos mensais de $ 500,00 + 1 pagamento de $ 180,92 no 24º mês.

Verificação:

a) Valor presente de 23 pagamentos mensais de 500,00 com taxa de 0,013159404 a.m.:

PV_1 = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

PV_1 = 500 \cdot \frac {1-(1+0,013159404)^{-23}}{0,013159404}

PV_1 = 9867,253527

b) Valor presente de 1 pagamento de 180,92 após 24 meses com taxa de 0,013159404 a.m.:

PV_2 = FV \cdot (1+i)^{-n}

PV_2 = 180,92 \cdot (1+0,013159404)^{-24}

PV_2 = 132,1964719

c) Valor presente total (preço à vista):

PV = PV_1 + PV_2

PV = 9867,253527 + 132,1964719

PV = 9999,449999

\boxed{ PV \approx \$\; 10.000,00}

por **jota-r** Qua 18 Abr 2018, 17:40

jota-r escreveu:
jota-r escreveu:Olá.

1 - Determinada mercadoria, cujo preço a vista é $ 10.000,00, pode ser vendida a prazo segundo diversos planos.
Um comprador deseja pagar não mais de $ 500,00 mensais. Quantos pagamentos deverá fazer se, para o vendedor,
o dinheiro está valendo 16% a.a. com capitalização trimestral?

Resp.: 23 pagamentos de$ 500,00 + 1 pagamento de $ 3,94, 24 meses após a data da compra.

2 - Para os mesmos dados do exercício anterior, quantos pagamentos semestrais de $ 1.000,00 seriam necessários?

Resp.: 21 pagamentos semestrais de $ 1.000,00 + 1 pagamento de $ 589,91, 6 meses após o último pagamento de $ 1.000,00.

Um abraço
Olá.

Taxa efetiva a ser cobrada:

i = 16% a.a. = 16%/4 a.t. = 0,04 a.t.

Resolvendo Item 1:

Supondo que o 1º pagamento seja de $ 500,00 e efetuado na data da compra, equivale a amortizar uma dívida de $ 9.500,00
em prestações mensais postecipadas.

Caso substituamos os pagamentos mensais por pagamentos trimestrais equivalentes e iguais a Y, temos:

Y = 500*FFC (1/3, 0,04):
---->
Y = 500*0,04/[(1+0,04)^(1/3)-1]
---->
Y = 500*0,04/[1,04^(1/3)-1]
---->
Y = 500*3,0397
---->
y = 1519,85

Agora, devemos prucurar um valor de n que satisfaça à igualdade:

9500 = 1519,85*FVA (n, 4%)
---->
9500/1519,85 = (1,04^n - 1)/(1,04^n*0,04)
---->
6,2506 = (1,04^n - 1)/(1,04^n*0,04)
---->
6,2506*(1,04^n*0,04) = (1,04^n - 1)
---->
6,2506*0,04*1,04^n = (1,04^n - 1)
---->
0,25*1,04^n = 1,04^n - 1
---->
0,25*1,04^n - 1,04^n = - 1
---->
1,04^n*(0,25 - 1) = - 1
---->
1,04^n = 1,3333
---->
n = log 1,3333/log 1,04
---->
n =7,34 trimestres

Como em cada trimestre são efetuados 3 pagamentos de $ 500,00 e considerendo que 0,34 > 1/3, conclui-se que são necessários mais 22 pagamentos de $ 500,00,
faltando ainda um pagamento inferior a $ 500,00.

Para se calcular o valor desse pagamento final, aqui indicado por Z, e supondo que seja efetuado um mês após o último pagamento
de $ 500,00, armaremos uma equação de valor com data focal igual à desse último pagamento de $ 500,00 (22 meses após a data
da compra.

Portanto:

9500*(1+0,04)^(7 1/3) = 1519,85* FAC ( 7 1/3, 4%) + Z*(1+0,04)^(-1/3)

Considerando que:

(1+0,04)^(7 1/3) = 1,04^7*1,04^(1/3) = 1,3159*1,0132

FAC ( 7 1/3, 0,04) = FAC (7, 4%) + 1,04^7*FAC (1/3, 4%) = 7,8983 + 1,3159*0,3290 = 7,8983 + 0,4329 = 8,3312

(1+0,04)^(-1/3) = 1,04^(-1/3) = 0,9870

Substituindo esses resultados na equação de valor acima, resulta:

9500*1,3159*1,0132 = 1519,85*8,3312 + 0,9870Z
---->
9500*1,3159*1,0132 - 1519,85*8,3312 = 0,9870Z
---->
3,8895 = 0,9870Z
---->
Z = 3,8895/0,9870
---->
Z = 3,94---->resposta

Obs.: depois resolvo o item 2.

Um abraço.

Resolução do exercício previsto no item 2:

Para este caso, vamos supor que o 1º pagamento só seja efetuado 6 meses após a data da compra.

Seguindo o mesmo raciocínio adotado no item 1, temos:

Y = Y = 500*FFC (2, 4%):
---->
Y = 1000*0,04/0,0816
---->
Y = 1000*0,4902
---->
Y = 490,20

Devemos, pois, procurar um valor de n tal que satisfaça a seguinte equação de valor:

10000 = 490,20*FVA (n, 4%)---->FVA (n, 4%) = 10000/490,20---->FVA (n, 4%) = 20,3998
---->
(1,04^n-1)/(1,04^n*0,04) = 20,3998
---->
(1,04^n-1) = 20,3998*(1,04^n*0,04)
---->
(1,04^n-1) = 0,8160*1,04^n
---->
1,04^n - 0,8160*1,04^n = 1
---->
1,04^n*(1 - 0,8160) = 1
---->
1,04^n*0,1840 = 1
---->
1,04^n = 1/0,1840
---->
1,04^n = 5,4348
---->
n = log 5,4348 / log 1,04
---->
n =43,1614 trimestres
---->
n = 43,1614/2 = 21,5807 semestres

Portanto, serão ncesssários 21 pagamentos semestrais de $ 1.000,00, mais um pagamento final, Z, a ser efetuado seis meses
após o último pagamento de $ 1.000,00.

O valor de Z será calculado por meio de uma equação de valor com data focal igual à do pagamento da última prestação de
$ 1.000,00. Portanto, temos que:

10000*(1+0,04)^42 = 490,20* FAC (42, 4%) + Z* 1,04^(-2)
---->
10000*1,04^42 = 490,20*(1,04^42 - 1)/0,04 + Z* 1,04^(-2)
---->
10000*5,1928 = 490,20*104,8196 + Z* 0,9246
---->
51928,0000 = 51382,5679 + Z* 0,9246
---->
51928,0000 = 51382,5679 + Z* 0,9246
---->
51928,0000 - 51382,5679 = Z* 0,9246
---->
545,4321 = Z* 0,9246
---->
Z = 545,4321/0,9246
---->
Z = 589,91

Prova:

10000 = 1000*(1,0816^21-1)/(1,0816^21*0,0816) + 589,91/(1,0816^22) = 9.999,97

Um abraço.

por Luiz 2017 Qui 19 Abr 2018, 10:36

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
A propósito, você fez a verificação de sua resolução?

Veja abaixo:

Minha resposta para item 1 é:

n = 23 pagamentos mensais de $ 500,00 + 1 pagamento de $ 180,92 no 24º mês.

Verificação:

a) Valor presente de 23 pagamentos mensais de 500,00 com taxa de 0,013159404 a.m.:

PV_1 = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

PV_1 = 500 \cdot \frac {1-(1+0,013159404)^{-23}}{0,013159404}

PV_1 = 9867,253527

b) Valor presente de 1 pagamento de 180,92 após 24 meses com taxa de 0,013159404 a.m.:

PV_2 = FV \cdot (1+i)^{-n}

PV_2 = 180,92 \cdot (1+0,013159404)^{-24}

PV_2 = 132,1964719

c) Valor presente total (preço à vista):

PV = PV_1 + PV_2

PV = 9867,253527 + 132,1964719

PV = 9999,449999

\boxed{ PV \approx \$\; 10.000,00}

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