taxa mensal embutida na venda à prazo

por Cristina Lins Seg 22 maio 2017, 23:02

Laura quer comprar um violão em uma loja q oferece um desconto de 30% nas compras à vista ou pagamento em 3 prestações mensais , sem juros e sem desconto. Determine a taxa mensal embutida na venda à prazo, supondo o 1º pagamento um mês após a compra.

por **jota-r** Ter 23 maio 2017, 13:54

Cristina Lins escreveu:Laura quer comprar um violão em uma loja q oferece um desconto de 30% nas compras à vista ou pagamento em 3 prestações mensais , sem juros e sem desconto. Determine a taxa mensal embutida na venda à prazo, supondo o 1º pagamento um mês após a compra.

Olá.

Este tipo de problema implica resolver equação do 3º grau, o que não é contemplado pela abrangência deste fórum.

Quem passou este exercício para você?

Um abraço.

por Cristina Lins Ter 23 maio 2017, 15:08

Estou fazendo um curso, neste módulo é matemática financeira. Realmente cai numa equação do 3º grau, que é aonde estou empacada

por Luiz 2017 Ter 23 maio 2017, 20:54

Por ora, retirei minha resposta.

por Luiz 2017 Qua 24 maio 2017, 10:21

jota-r escreveu:
Olá.

Este tipo de problema implica resolver equação do 3º grau, o que não é contemplado pela abrangência deste fórum.

Quem passou este exercício para você?

Um abraço.

Além disso há outro impedimento: problemas de séries financeiras uniformes envolvem 4 variáveis. É preciso fornecer três delas para determinar a quarta. Neste problema só foi foi fornecida uma variável, o número de períodos n.

por **jota-r** Qua 24 maio 2017, 11:57

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Olá.

Este tipo de problema implica resolver equação do 3º grau, o que não é contemplado pela abrangência deste fórum.

Quem passou este exercício para você?

Um abraço.

Além disso há outro impedimento: problemas de séries financeiras uniformes envolvem 4 variáveis. É preciso fornecer três delas para determinar a quarta. Neste problema só foi foi fornecida uma variável, o número de períodos n.

Olá.

Você fala assim pensando em uma solução algébrica, que, como sabemos, leva à uma equação do 3º grau, mesmo que a série fosse de termos antecipados. No entanto, se atribuirmos um valor arbitrário ao objeto, os dados seriam suficientes para solução
do problema. A questão aqui é que a série é de termos postecipados, o que conduz à uma equação do 3º grau ainda que se adote esse método.

Um abraço.

por Cristina Lins Qua 24 maio 2017, 16:33

Obrigada pela atenção de todos. Depois de muita briga, cheguei a um valor aproximado do resultado do livro. atribuo a diferença, às aproximações.

por Luiz 2017 Qui 25 maio 2017, 17:12

Resumindo: a questão é que solução para este tipo de problema recai numa equação de 3° grau, que independente de ter solução ou não, está fora do escopo deste fórum.

Fora isto lembro à Cristina Lins que equação do 3° grau pode ser resolvida pelo método iterativo de Newton-Raphson.

por **jota-r** Sex 26 maio 2017, 13:54

Luiz 2017 escreveu:Resumindo: a questão é que solução para este tipo de problema recai numa equação de 3° grau, que independente de ter solução ou não, está fora do escopo deste fórum.

Fora isto lembro à Cristina Lins que equação do 3° grau pode ser resolvida pelo método iterativo de Newton-Raphson.

Olá.

Luiz, para eu aprender, gostaria de ver a solução deste exercício por você, inclusive com resolução da equação pelo método
de Newton-Raphson. Poderia atender-me, por favor?

Um abraço.

por Luiz 2017 Sex 26 maio 2017, 20:20

jota-r escreveu:
Olá.

Luiz, para eu aprender, gostaria de ver a solução deste exercício por você, inclusive com resolução da equação pelo método
de Newton-Raphson. Poderia atender-me, por favor?

Um abraço.

Aí vai:

Primeiramente teria que te mostrar que equação do 3º grau (ou qualquer outro) pode ser resolvida pelo método de Newton. Seja a equação:

x³ - x² + 2x - 8 = 0

Solução:
x(0) = 0.500000000000000
x(1) = 3.208955287933350
x(2) = 2.408360958099365
x(3) = 2.066123485565186
x(4) = 2.002039194107056
x(5) = 2.000000000000000
x(6) = 2.000000000000000

Raiz = 2,0
Nº de iteracões: 6
Verificando: 2³ - 2² + 2*2 - 8 = 8-4+4-8=0

Agora vamos ao problema da Cristina Lins:

Enunciado do problema: Laura quer comprar um violão em uma loja q oferece um desconto de 30% nas compras à vista ou pagamento em 3 prestações mensais, sem juros e sem desconto. Determine a taxa mensal embutida na venda à prazo, supondo o 1º pagamento um mês após a compra.

a) Seja "p" o preço do produto a ser dividido em 3 parcelas mensais iguais, postecipadas, sem juros e sem desconto.

b) Seja 0,7*p o valor do produto à vista, portanto o valor que, afinal, será financiado, qual seja, 70% de "p", já que, à vista, a loja oferece o desconto de 30%.

Tem-se então que:

PV = 0,7*p
PMT = p/n
n = 3

Tem-se ainda que:

PV = PMT*[1 - (1+i)^-n]/i

Esta equação é deduzida, pela soma dos termos de uma PG finita, da seguinte maneira:

PV = PMT.(1+i)^-1 + PMT.(1+i)^-2 + PMT.(1+i)^-3

PV/PMT = (1+i)^-1 + (1+i)^-2 + (1+i)^-3

Substituindo os valores de PV e PMT e fazendo x=(1+i), vem:

0,7*3*p/p = x^-1 + x^-2 + x^-3

(note-se que o "p" desaparece, por isto este tipo de problema pode ser generalizado)

Multiplicando membro a membro tudo por x³ e reordenando, vem uma eq. do 3º grau:

2,1x³ - x² - x - 1 = 0

Esta é a equação a ser resolvida pelo método de Newton. Fazendo:

f(x) = 2,1*x³ - x² - x - 1

A derivada de f(x) é:

f'(x) = 6,3*x² - 2*x -1

O método de Newton, super manjado, diz que:

x1 = xo - f(xo)/f'(xo)

A técnica de solução pelo método iterativo de Newton consiste numa série de cálculos consecutivos cujos resultados começam a se aproximar cada vez mais do valor exato. De uma forma extremamente resumida, numa sequência de 4 passos, ele é mostrado abaixo:

1 - Arbitra-se um valor inicial para xo e uma tolerância máxima admissível para o erro.

2 - Com o valor inicial, calcula-se o valor de f(xo), f'(xo) e, de posse destes, calcula-se x1 nesta última equação.

3 - Compara-se a diferença entre o valor calculado e o valor inicial, com a tolerância estabelecida.

4 - Se a diferença for maior que a tolerância, o valor calculado ainda não tem a precisão desejada, mas ele passa a ser o novo valor inicial e repete-se os cálculos voltando ao passo 2. Quando a diferença for igual ou menor que a tolerância é porque chegou-se à precisão desejada e o valor da variável encontrado neste momento é o valor procurado.

Na realidade é isto o que faz o algoritmo contido no processador da HP 12C e também os seus clones, sendo que têm valores pré-estabelecidos para o valor inicial e para a precisão do cálculo.

Isto posto, inicia-se o cálculo com um valor inicial x0. Vou arbitrar x0 = 0,5 (é um palpite, poderia ser outro). Para a tolerância máxima vamos estabelecer 0,0001 (a precisão do cálculo fica a critério da necessidade do interessado), que neste caso significa que o erro máximo do valor calculado em relação ao valor exato, se houver, é 0,0001/100 = 0,001% (muito pequeno):

Iniciando o processo iterativo vem:

Para x(0) = 0.500000000000000 tem-se: .... x(1) = -1.949984550476074
Para x(1) = -1.949984550476074 tem-se: .... x(2) = -1.264940023422241
Para x(2) = -1.264940023422241 tem-se: .... x(3) = -0.784870445728302
Para x(3) = -0.784870445728302 tem-se: .... x(4) = -0.369601696729660
Para x(4) = -0.369601696729660 tem-se: .... x(5) = 1.080600738525391
Para x(5) = 1.080600738525391 tem-se: .... x(6) = 1.223025441169739
Para x(6) = 1.223025441169739 tem-se: .... x(7) = 1.202492833137512
Para x(7) = 1.202492833137512 tem-se: .... x(8 ) = 1.201971173286438
Para x(8 ) = 1.201971173286438 tem-se: .... x(9) = 1.201970100402832

Convergiu com 9 iterações, isto é, na 9ª iteração as 5 primeiras casas decimais se igualam. Isto significa que o erro, se houver, está na faixa de 10^-5. Quanto mais iterações, mais a resposta se aproxima da solução exata.

Portanto a raiz da equação é x = 1,201970100402832.

Uma observação importante que acho que já mencionei em outro post. O método de Newton encontra apenas uma raiz, real, mesmo que a equação tenha n raízes, reais ou complexas. Em juros isto não tem mesmo problema, porque a taxa é uma só. O Wolfram|Alpha mostra que as duas outras raízes são complexas (ver imagem abaixo).

Mas como x=(1+i) então

i = 1,201970100402832 - 1 = 0,201970100402832
i = 20,197% a.m. (juro pesadíssimo que equivale a 25 vezes o rendimento da poupança).

Dá para ver que, manualmente, este é um processo demorado, enfadonho e cansativo. É um processo para ser realizado tipicamente por computador. Os desenvolvedores de softwares aqui do fórum podem falar melhor. Mas existem inúmeros softwares já prontos que fazem isto num piscar de olhos, inclusive online. Há um muito bom online, neste link: [size=13]http://www.mat.ufmg.br/~regi/topicos/calcju.html.

Resumo da ópera:

a) Sempre que na venda em n parcelas iguais sem juros, o vendedor conceder desconto para pagamento à vista, é por que tem juro embutido nas parcelas. O acima exposto demonstra isto.

b) Não é preciso conhecer o PV e o PMT separadamente, e sim a relação entre eles. Neste problema a relação é PV = 0,7*p, PMT = p/3 e portanto PV = 2,1*PMT.

c) Testando o resultado da equação do 3º grau: se o preço da viola for $ 900,00 em 3 parcelas de $ 300,00, a parte financiada será portanto $ 630,00 (900,00 com desconto de 30%). Então tem-se que:

PV = PMT.[1 - (1+i)^-n]/i

PV = 300.[1 - (1,20197)^-3]/0,20197 = 630,00

O valor bateu, portanto a solução está correta, e o vendedor mente ao dizer que o parcelamento é em 3 vezes sem juros pois ficou demonstrado que nas parcelas tem uma draconiana taxa de 20,197% am.
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