Variação de função trigonométrica

por Andre Ampère Qui 15 Fev 2018, 18:20

Estudar a variação da seguinte função real:

$g(x) = 8.\sin ^{2}x.\cos ^{^{2}}x$

Resposta (não consegui chegar nessa resposta):

$p(g) = \frac{\pi }{2}, D(g) = \Re , Im(g)= [0,2]$

por **Euclides** Qui 15 Fev 2018, 18:51

Essa função será nula quando qualquer dos dois fatores for nulo:

$\\se\;f(x)=f(x+a)\;\to\;a\;\text{\'e o per\'iodo de }f(x)\\\\f(x)=8.\sin^2x.\cos^2 x\;\begin{cases}x=0\to \sin x=0\\x=\frac{\pi}{2}\to \cos x=0\\x=\pi\to \sin x=0 \end{cases} P=\frac{\pi}{2}$

o Domínio não possui restrições: campo Real.

o produto seno x cosseno é máximo quando sen=cos

$f_{max}{x}=8\times \left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2\times\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2=2$

como a função é sempre maior ou igual a zero .... I{0,2}

por Andre Ampère Qui 15 Fev 2018, 19:01

Entendi, obrigado Euclides.
Eu estava tentando transformar a função g(x) pra encontrar o domínio e o período de outra maneira.. Por exemplo, o período e domínio dessa função acima é igual ao de f(x)=1+cos(4x), essa expressão que eu estava tentando encontrar pra depois encontrar o que a questão pede...

por **Elcioschin** Qui 15 Fev 2018, 19:43

Outra solução:

f(x) = 8.sen²x.cos²x ---> f(x) = 2.(4.sen²x.cos²x) ---> f(x) = 2.(2.senx.cosx)² --->

f(x) = 2.[sen(2x)]² ---> f(x) = 2.sen²(2.x)

Período pi/2

A função é sempre positiva (está elevada ao quadrado).
Como o valor mínimo de sen²x = 0 e o máximo de sen²x = 1, o valor máximo de f(x) = 2

por Andre Ampère Qui 15 Fev 2018, 19:50

Elcioschin escreveu:Outra solução:

f(x) = 8.sen²x.cos²x ---> f(x) = 2.(4.sen²x.cos²x) ---> f(x) = 2.(2.senx.cosx)² --->

f(x) = 2.[sen(2x)]² ---> f(x) = 2.sen²(2.x)

Período pi/2

A função é sempre positiva (está elevada ao quadrado).
Como o valor mínimo de sen²x = 0 e o máximo de sen²x = 1, o valor máximo de f(x) = 2

Obrigado mestre, já tinha feito isso nas minhas tentativas e nem percebi que dava pra tirar o período já daí kkkk, é que eu tava tentando transformar em 1+cos4x