FUNÇÃO UFSC 1998

01. f tem três zeros reais.
02. f é uma função crescente em seu domínio.
04. a imagem de f é R.
08. f é inversível em seu domínio.
16. o domínio de f é R.


Bom dia, fórum. Minha duvida é em questão a 02 e a 08 serem falsas!

02) Note que logo após a reta x=0, a função decresce, logo ela não é crescente em todo seu domínio.

08) Não é inversível pois não há função que desfaça o que essa função faz, geralmente funções polinomiais não são inversíveis.

Sérgio, você disse "geralmente funções polinomiais não são inversíveis".

Tem como se provar que essa função realmente não tem inversa?

Duduu2525 escreveu:Sérgio, você disse "geralmente funções polinomiais não são inversíveis".

Tem como se provar que essa função realmente não tem inversa?

Nesse caso eu imagino que não, já que o gráfico não dá nenhum valor, talvez generalizando dê.

Essa função pode ser do tipo f(x) = cx^3 + bx^2 + ax + c, e não me parece possível pensar em uma expressão que desfaça o que essa expressão faz.

Na verdade, o gráfico tem informação suficiente pra afirmar que a função não é invertível. E isso independe da expressão que gerou a função. 

Perceba que, numa certa região do gráfico,  você pode traçar retas horizontais que cruzam a curva mais de uma vez. Isso significa que valores distintos da variável dependente (x) eventualmente são levados na mesma imagem (y). Portanto, a função não é injetora e não pode ser invertível.

Noutras palavras, se você tentasse inverter a relação (o que corresponde, graficamente, a refletir a curva em torno da reta x = y), alguns valores de x seriam levados a dois ou três valores de y, o que contradiz a definição de função. Portanto, essa função não tem inversa.

Eu acredito que quando ele diz "provar", ele se refere a provar algebricamente, já ouvi falar muitas vezes que gráfico ou desenho não prova nada.

rodrigoneves escreveu:Na verdade, o gráfico tem informação suficiente pra afirmar que a função não é invertível. E isso independe da expressão que gerou a função. 

Perceba que, numa certa região do gráfico,  você pode traçar retas horizontais que cruzam a curva mais de uma vez. Isso significa que valores distintos da variável dependente (x) eventualmente são levados na mesma imagem (y). Portanto, a função não é injetora e não pode ser invertível.

Noutras palavras, se você tentasse inverter a relação (o que corresponde, graficamente, a refletir a curva em torno da reta x = y), alguns valores de x seriam levados a dois ou três valores de y, o que contradiz a definição de função. Portanto, essa função não tem inversa.

Ah! Revi alguns conceitos e é exatamente isso, para ser inversível deve ser bijetora(sobrejetora e injetora ao mesmo tempo) para cada x um unico y...

Obrigada a todos!!

rodrigoneves escreveu:Na verdade, o gráfico tem informação suficiente pra afirmar que a função não é invertível. E isso independe da expressão que gerou a função. 

Perceba que, numa certa região do gráfico,  você pode traçar retas horizontais que cruzam a curva mais de uma vez. Isso significa que valores distintos da variável dependente (x) eventualmente são levados na mesma imagem (y). Portanto, a função não é injetora e não pode ser invertível.

Noutras palavras, se você tentasse inverter a relação (o que corresponde, graficamente, a refletir a curva em torno da reta x = y), alguns valores de x seriam levados a dois ou três valores de y, o que contradiz a definição de função. Portanto, essa função não tem inversa.

Muito obrigado, Sergio e Rodrigo.

Consegui entender bem!

SergioEngAutomacao escreveu:Eu acredito que quando ele diz "provar", ele se refere a provar algebricamente, já ouvi falar muitas vezes que gráfico ou desenho não prova nada.

Bom, você levantou uma questão interessante, a meu ver. Interessante mesmo. Vou dar meu ponto de vista:

O fato é que o enunciado dá apenas uma figura e nenhuma relação algébrica. Portanto, se nos restringíssemos a provar algo algebricamente, não provaríamos nada e qualquer resposta que déssemos à questão seria no máximo uma conjectura... já começa por aí.

Depois, quando se diz que gráfico ou desenho não prova nada, acho que é uma forma de dizer que não prova nada forte demais. Por exemplo, se você vê uma figura onde aparece um ângulo que visualmente aparenta ter 90 graus, mas o autor da questão não informa nada sobre isso, não se pode realmente supor que se trate de um ângulo reto. No entanto, se ele vai e coloca um quadradinho ali no ângulo, que é uma simbologia universalmente aceita, passa a ser razoável fazer tal suposição.

Voltando ao exercício em pauta, quando olhamos o gráfico, vemos claramente que a função cresce, depois decresce e cresce novamente. Isso é explicativo o suficiente para fazer afirmações como: a função não é estritamente crescente, não é injetora (portanto não é invertível), etc... ou seja, das duas uma: ou o gráfico é uma péssima representação da função (que nem a representa, essencialmente), ou todas essas afirmações fazem sentido. Isso "prova" alguma coisa? A meu ver, sim!

O esboço do raciocínio seria mais ou menos o seguinte: a função tem a figura abaixo como representação gráfica, logo ela não pode ser invertível. Na minha cabeça, faz todo o sentido.

O que já é diferente, por exemplo, de afirmar que ela é sobrejetora (sua imagem é R), uma das outras afirmações dadas como certas! Porque, para isso, precisamos supor (por exemplo) que, nas regiões do domínio não representadas, ela mantém um comportamento semelhante ao exibido nas extremidades da região representada: segue crescendo quando x tende a "infinito" ou decrescendo quando x tende a "menos infinito". Isso, para mim, já é algo bem forte. Portanto, não acho que tal afirmativa seja exatamente correta.

Concordam? Discordam? Quero saber a opinião dos senhores. 

rodrigoneves escreveu:

SergioEngAutomacao escreveu:Eu acredito que quando ele diz "provar", ele se refere a provar algebricamente, já ouvi falar muitas vezes que gráfico ou desenho não prova nada.

Bom, você levantou uma questão interessante, a meu ver. Interessante mesmo. Vou dar meu ponto de vista:

O fato é que o enunciado dá apenas uma figura e nenhuma relação algébrica. Portanto, se nos restringíssemos a provar algo algebricamente, não provaríamos nada e qualquer resposta que déssemos à questão seria no máximo uma conjectura... já começa por aí.

Depois, quando se diz que gráfico ou desenho não prova nada, acho que é uma forma de dizer que não prova nada forte demais. Por exemplo, se você vê uma figura onde aparece um ângulo que visualmente aparenta ter 90 graus, mas o autor da questão não informa nada sobre isso, não se pode realmente supor que se trate de um ângulo reto. No entanto, se ele vai e coloca um quadradinho ali no ângulo, que é uma simbologia universalmente aceita, passa a ser razoável fazer tal suposição.

Voltando ao exercício em pauta, quando olhamos o gráfico, vemos claramente que a função cresce, depois decresce e cresce novamente. Isso é explicativo o suficiente para fazer afirmações como: a função não é estritamente crescente, não é injetora (portanto não é invertível), etc... ou seja, das duas uma: ou o gráfico é uma péssima representação da função (que nem a representa, essencialmente), ou todas essas afirmações fazem sentido. Isso "prova" alguma coisa? A meu ver, sim!

O esboço do raciocínio seria mais ou menos o seguinte: a função tem a figura abaixo como representação gráfica, logo ela não pode ser invertível. Na minha cabeça, faz todo o sentido.

O que já é diferente, por exemplo, de afirmar que ela é sobrejetora (sua imagem é R), uma das outras afirmações dadas como certas! Porque, para isso, precisamos supor (por exemplo) que, nas regiões do domínio não representadas, ela mantém um comportamento semelhante ao exibido nas extremidades da região representada: segue crescendo quando x tende a "infinito" ou decrescendo quando x tende a "menos infinito". Isso, para mim, já é algo bem forte. Portanto, não acho que tal afirmativa seja exatamente correta.

Concordam? Discordam? Quero saber a opinião dos senhores. 

Concordo. E esse momento de ter que supor que ela tenda ao infinito e sua imagem seja R ainda é bem confuso para mim nas questões...