Polinômio e Números Complexos

por **Giovana Martins** Sáb 09 Dez 2017, 23:57

Segue uma questão legalzinha que eu encontrei por aí e decidi compartilhar. Entre amanhã e segunda eu posto a resolução. Dica: não tentem resolvê-la por métodos mirabolantes.

Seja p(x) o polinômio de grau 2007, com coeficientes reais:

Determine o resto da divisão de p(x) por x²+1.

Spoiler:

por superaks Dom 10 Dez 2017, 04:11

Note que x² + 1 = (x - i)(x + i)

Pelo teorema dos restos sabemos que o resto da divisão de um polinômio P por x - a é igual a P(a).

Fazendo x = i, temos

P(i) = [cis(2π/2017)]^(2017) = cis(2017 . 2π/2017) = cis(2π) = 1

Faça x = - i

P(-i) = [cos(- 2π/2017) + isen(- 2π/2017)]^(2017) = cis(2017 . (- 2π)/2017) = cis(-2π) = 1

Como x - i e x + i são polinômios de grau 1 distintos e

x - i | P(x) - 1

x + i | P(x) - 1

Logo,

(x - i)(x + i) = x² + 1 | P(x) - 1

Então existe um polinômio Q(x) tal que

P(x) - 1 = (x² + 1) . Q(x)

P(x) = (x² + 1) . Q(x) + 1

Portanto, o resto da divisão de P(x) por x² + 1 é 1.

por biologiaéchato Dom 10 Dez 2017, 10:12

Caramba, hein!
Que questão complicada, eu que sou leigo nesse tipo de conteúdo não sei mover uma vírgula na resolução, kkkk.
Esse conteúdo é de ensino superior, né?

por renan2014 Dom 10 Dez 2017, 12:02

A matéria é números complexos e uma parte de polinômios. Números complexos foi retirado da grade do MEC para o ensino médio, mas as escolas podem dar ainda.

por Thanos Dom 10 Dez 2017, 13:11

Não entendi a resolução. :scratch:
Mas notei que o título ajudava nela... (eu acho)

Obrigado, Matheus !

por **Matheus Tsilva** Dom 10 Dez 2017, 14:47

por **Matheus Tsilva** Dom 10 Dez 2017, 14:50

Superaks , parabens pela sua resolução.
A minha resolução é praticamente a dele.
Postei para o Thanos , para talvez , fique mais claro.
Lembre-se de que , cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar, o que foi adotado na resolução.

por **Giovana Martins** Seg 11 Dez 2017, 22:12

A resolução é assim mesmo. E sim, Thanos, dei mole no título (sou uma anta hahaha). Acabei dando uma dica a mais. De qualquer forma, a questão não era um desafio, mas sim uma questão que eu achei legal e resolvi compartilhar.

"Esse conteúdo é de ensino superior, né?"

Não, Dudu. Os assuntos abordados na questão estão presentes na grade do ensino médio (conforme você for estudando uma hora você vai chegar nesses assuntos). Vestibulares como FUVEST, UNICAMP e UNESP, por exemplo, cobram estas matérias.

Obrigada a todos que participaram desta postagem.