Primitivas de funções racionais

por **Forken** Qua 29 Nov 2017, 17:05

Integral:

\int \frac{2}{x^3(x+2)}=2\int \frac{dx}{x^3(x+2)}

Minha tentativa:

1=\frac{A}{x^3}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x}+\frac{D}{x+2}
Só que isto não resolve meu problema.

por **Euclides** Qua 29 Nov 2017, 17:26

Resolução do Symbolab

Primitivas de funções racionais Fig5

por **Forken** Qua 29 Nov 2017, 17:30

Como ele obteve estes denominadores? 2x^3, 4x^2, 8(x+2), 8x?

por **Euclides** Qua 29 Nov 2017, 17:54

Forken escreveu:Como ele obteve estes denominadores? 2x^3, 4x^2, 8(x+2), 8x?

Não tenho ideia...

por **Forken** Sex 01 Dez 2017, 16:31

por elbigpotato Sex 01 Dez 2017, 20:25

Porque não resolve? fiz aqui e funcionou normalmente.
Lembrando que vc tem que tirar o mmc antes de multiplicar pela letra.
exemplo:
2/x².(x+2) = A/x + B/x² + C/x+2

=>A.(x).(x+2)+B.(x+2)+C.(x²) = 2

por **Forken** Sáb 02 Dez 2017, 00:42

Não deveriam ser 4 frações? da maneira que coloquei na "minha tentativa"?

por **Willian Honorio** Sáb 02 Dez 2017, 01:11

Você não mostrou o que fez por completo, pressuponho que errou no MMC. Para decompor em frações parciais,o produto do denominador deve ser x³(x+2) para haver igualdade de polinômios.

$\frac{1}{x^{3}(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x^{3}}+\frac{D}{x+2}\\\\=\frac{A.x^{2}+B.x}{x^{3}}+\frac{C}{x^{3}}+\frac{D}{x+2}=\frac{A.x^{2}+B.x+C}{x^{3}}+\frac{D}{x+2}\\\\=\frac{(A.x^{2}+B.x+C)(x+2)+x^{3}.D}{x^{3}(x+2)}\\\\=\frac{(A+D).x^{3}+x^{2}(2.A+B)+x(C+2B)+2C}{x^{3}(x+2)}\\\\\left\{\begin{matrix} A+D=0 & & & \\ 2.A+B=0& & & \\ C+2.B=0 & & & \\ 2.C=1& & & \end{matrix}\right.$

$A=\frac{1}{8}\\B=\frac{-1}{4}\\C=\frac{1}{2}\\D=\frac{-1}{8}$

A integral pode ser escrita como:

$2.\int \left (\frac{1}{8.x}-\frac{1}{4.x^{2}}+\frac{1}{2.x^{3}}-\frac{1}{8.(x+2)} \right )dx\\\\=2.\left (\frac{1}{8}\int \frac{1}{x}dx-\frac{1}{4}\int \frac{1}{x^{2}}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^{3}}dx-\frac{1}{8}\int \frac{1}{x+2}dx \right )\\\\=2.\left (\frac{1}{8}\ln\left | x \right |-\frac{1}{4.(-2+1)}.x^{-2+1}+\frac{1}{2(-3+1)}x^{-3+1}-\frac{1}{8}\ln\left | x+2 \right | \right )\\\\=\boxed{2\left ( \frac{-1}{4.x^{2}}+\frac{1}{4.x}-\frac{1}{8}\ln\left | x+2 \right |+\frac{1}{8}\ln\left | x \right | \right )+C}$

por **Forken** Sáb 02 Dez 2017, 03:23

Ax^3\cdot x^2\cdot (x+2)+Bx\cdot x^3\cdot (x+2)+Cx\cdot x^2\cdot(x+2)+Dx^3\cdot x^2\cdot x=1
Ae fiz para x = -2 (Com intuito de encontrar o valor de D), só que para achar as outras letras, eu não conseguia escolher os valores de x adequadamente, pois só o 0 zerava, e fazia isso com várias letras ao mesmo tempo.