Quant. de Movimento (demostração)

A Figura abaixo mostra dois corpos antes e depois de uma colisão unidimensional, como uma colisão frontal
de bolas de sinuca.
 


Um projétil, de massa e velocidade inicial , se move em direção a um alvo de
massa que está inicialmente em repouso ( = 0). Vamos supor que esse sistema de dois corpos é
fechado e isolado. Isso significa que o momento linear total do sistema é conservado. Então temos:

  , Então:

   (I)

Se a colisão é elástica, a energia cinética total também é conservada e podemos expressar esse fato por
meio da equação:

   (II)

Nas duas equações, o índice i indica a velocidade inicial, e o subscrito f indica a velocidade final dos
corpos. Se conhecemos as massas dos corpos e também conhecemos , a velocidade inicial do corpo 1,
as únicas grandezas desconhecidas são e , as velocidades finais dos dois corpos. Com duas
equações à disposição, podemos calcular o valor das incógnitas.

Para isso, escrevemos a Eq. (I) na forma

   (III)

e a Eq. (II) na forma

   (IV).

Dividindo a Eq. (IV) pela Eq. (III) e reagrupando os termos, obtemos:

   (V)

   (VI)


_______________________________________________________________________________________________


Minha dúvida é: de que forma, reagrupando os termos, podemos obter as equeções (V) e (VI) ?
Já tentei de várias formas dividir e reagrupar a equação (IV) pela (III) e não conseguir chegar em (V) e (VI). Alguém pode me ajudar?

Dividindo IV por III, você obtém:
v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}
v_{2f}-v_{1f}=v_{1i}
daí você tem duas equações com v_{1f} e v_{2f} sendo a segunda:
\frac{m_2}{m_1}v_{2f}+v_{1f}=v_{1i}

Resolvendo, chega em V e VI.

gabrieldpb escreveu:Dividindo IV por III, você obtém:
v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}
v_{2f}-v_{1f}=v_{1i}
daí você tem duas equações com v_{1f} e v_{2f} sendo a segunda:
\frac{m_2}{m_1}v_{2f}+v_{1f}=v_{1i}

Resolvendo, chega em V e VI.

Como você obteve    \frac{m_2}{m_1}v_{2f}+v_{1f}=v_{1i}       ?

De onde saiu a relação entre as massas ?

gabrieldpb escreveu:Somando as equações:
\frac{m_2+m_1}{m_1}v_{2f}=2v_{1i}
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}



Substituindo:
v_{1f}=v_{2f}-v_{1i}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}

De onde saiu   \frac{m_2+m_1}{m_1}v_{2f}=2v_{1i}    ?


E nesta passagem v_{1f}=v_{2f}-v_{1i}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}     substituísse  o que para chegar em         ?


Você poderia ser mais explicito? Obrigado.

fernando xavier escreveu:

gabrieldpb escreveu:Dividindo IV por III, você obtém:
v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}
v_{2f}-v_{1f}=v_{1i}
daí você tem duas equações com v_{1f} e v_{2f} sendo a segunda:
\frac{m_2}{m_1}v_{2f}+v_{1f}=v_{1i}

Resolvendo, chega em V e VI.

Como você obteve    \frac{m_2}{m_1}v_{2f}+v_{1f}=v_{1i}       ?

De onde saiu a relação entre as massas ?

Eu dividi a equação III por m_1 e passei o v_{1f} pro outro lado da igualdade.

fernando xavier escreveu:

gabrieldpb escreveu:Somando as equações:
\frac{m_2+m_1}{m_1}v_{2f}=2v_{1i}
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}



Substituindo:
v_{1f}=v_{2f}-v_{1i}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}

De onde saiu   \frac{m_2+m_1}{m_1}v_{2f}=2v_{1i}    ?


E nesta passagem v_{1f}=v_{2f}-v_{1i}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}     substituísse  o que para chegar em         ?


Você poderia ser mais explicito? Obrigado.

Encontrei \frac{m_2+m_1}{m_1}v_{2f}=2v_{1i} somando as seguintes equações:
v_{2f}-v_{1f}=v_{1i} (quando dividi a IV pela III e depois passei o v_{1f} pro outro lado da equação)
\frac{m_2}{m_1}v_{2f}+v_{1f}=v_{1i}

Eu substitui o v_{2f} que eu tinha calculado anteriormente pra achar o v_{1f}.

O problema consiste basicamente em você isolar as variáveis v_{2f} e v_{1f} e encontrar o valor delas baseadas nas que você conhece: m_1, m_2 e v_{1i}. Pra isso você monta um sistema:

Sistema (com as variáveis sublinhadas):
\left\{\begin{matrix} \underline{v_{2f}}-\underline{v_{1f}}=v_{1i}\\  \frac{m_2}{m_1}\underline{v_{2f}}+\underline{v_{1f}}=v_{1i} \end{matrix}\right.

Respostas:
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}
v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}