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Diagonais duas a duas diferentes

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Mensagem por JEABM Sáb 16 Set 2017, 18:25

Quantas medidas, duas as duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
a) polígono de n lados, para n sendo par;
b) polígono de n lados, para n sendo ímpar;

OBS: sei que as fórmulas são: n-2/2 e n-3/2. Gostaria de saber o porque dessa fórmula..

por exemplo: no dodecágono regular sei que partem
dv = n-3
dv = 9 (diagonais por vértice)

e temos 5 medidas diferentes de diagonais duas a duas, conforme figura abaixo:

Diagonais duas a duas diferentes Dodeca10

por exemplo: no endecágono regular sei que partem
dv = n-3
dv = 8 (diagonais por vértice)

e temos 4 medidas diferentes de diagonais duas a duas, conforme figura abaixo:
Diagonais duas a duas diferentes Endeca10

Não consigo enxergar a formula n-2/2 e n-3/2..

alguém poderia me ajudar?

Grato..

JEABM
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Mensagem por JEABM Qua 04 Out 2017, 18:33

Ngm sabe explicar? XD

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Mensagem por Euclides Qua 04 Out 2017, 19:41

Diagonais duas a duas diferentes Fig3

os polígonos pares têm um eixo de simetria que passa por uma das diagonais. Isto não acontece nos polígonos ímpares. Partindo de um mesmo vértice

nos polígonos ímpares temos Diagonais duas a duas diferentes Latex_64316e2b3687cb03f44ff60fa1c7abae que são iguais duas a duas e assim constituem, a cada par, um mesmo "tipo" de diagonal

Diagonais duas a duas diferentes Latex_1fd06c6d812cec96fb646053c7bfb319

nos polígonos pares, devido à sua simetria,  partindo de um mesmo vértice há uma diagonal que é única e que coincide com o eixo de simetria. Nesse caso subtraímos inicialmente essa diagonal e a somamos ao final

Diagonais duas a duas diferentes Latex_bb6ec236b8c90d9eae70b835673cac02

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Mensagem por JEABM Seg 09 Out 2017, 16:02

Boa tarde Euclides, n sei se entendi direito...

Qd o n de lados for impar ou par será n-3/2 (p deduzir) de onde a fórmula n-3 é o número de vertices adjacentes (q são 3, dois adjacentes e 1 sendo o próprio vértice escolhido) correto? E é divido por 2, pq senão contamos duas vezes. Como fiz no endecagono (acima) tem 4 medidas de diagonais ≠. Minha dúvida é no n par..pq ficou n-4/2 + 1? Sei que vc falou q devido a simetria há uma diagonal q é única e q coincide c o eixo de simetria...mas no quadrado aonde q a diagonal passa pelo eixo da simetria?

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Mensagem por Euclides Seg 09 Out 2017, 16:23

Sim, no quadrado as diagonais estão sobre eixos de simetria:

D=(4-2)/2 -> 1

são duas diagonais (iguais) e portanto do mesmo tipo

Diagonais duas a duas diferentes Fig2

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Mensagem por JEABM Seg 09 Out 2017, 21:32

Mas pq ficou n-4/2 + 1? Isso n enxerguei rs......

Vc falou q tira essa diagonal (q passa no eixo de simetria) sempre será -1 e junta c n-3 e depois soma c ela novamente? Viajei nisso xD

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Mensagem por Euclides Seg 09 Out 2017, 21:53

JEABM escreveu:Mas pq ficou n-4/2 + 1? Isso n enxerguei rs......

Vc falou q tira essa diagonal (q passa no eixo de simetria) sempre será -1 e junta c n-3 e depois soma c ela novamente? Viajei nisso xD
n=número de lados do polígono

se existe uma diagonal num eixo de simetria cada diagonal de um dos lados terá uma correspondente do outro lado. Apenas a diagonal única (sobre o eixo de simetria) não tem correspondente. Como queremos saber quantos tipos diferentes de diagonal existem, verificamos quantas existem de cada lado (por isso não contamos a que é única) e depois somamos a que lhes faz simetria. Nesse caso, desse vértice, partem 3 segmentos, dois dos quais não são diagonais e o terceiro é a diagonal única.

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Mensagem por JEABM Ter 10 Out 2017, 10:38

Euclides obg pelo esclarecimento...só p finalizar acima fiz o dodecagono e no vértice q escolhi tem uma diagonal q passa pelo eixo de simetria, mas se eu escolhe-se por exemplo o vértice adjacente a ele (O da esquerda) e trata-se TDS as diagonais nenhumas delas passaria pelo eixo de simetria......depende do modo q desenho os polígonos regulares pares? Agora entendi pq ficou n-3-1 /2 , esse -1 é pq tirou a diagonal q passa pelo eixo de simetria e depois add novamente ela..

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Mensagem por Euclides Ter 10 Out 2017, 13:01

Diagonais duas a duas diferentes Fig2

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Mensagem por JEABM Ter 10 Out 2017, 16:25

Então, aquilo acima q falei anteriormente q é a dedução das duas fórmulas? Obg pela ajuda

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