Diagonais duas a duas diferentes

por JEABM Sáb 16 Set 2017, 18:25

Quantas medidas, duas as duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
a) polígono de n lados, para n sendo par;
b) polígono de n lados, para n sendo ímpar;

OBS: sei que as fórmulas são: n-2/2 e n-3/2. Gostaria de saber o porque dessa fórmula..

por exemplo: no dodecágono regular sei que partem
dv = n-3
dv = 9 (diagonais por vértice)

e temos 5 medidas diferentes de diagonais duas a duas, conforme figura abaixo:

Diagonais duas a duas diferentes Dodeca10

por exemplo: no endecágono regular sei que partem
dv = n-3
dv = 8 (diagonais por vértice)

e temos 4 medidas diferentes de diagonais duas a duas, conforme figura abaixo:

Diagonais duas a duas diferentes Endeca10

Não consigo enxergar a formula n-2/2 e n-3/2..

alguém poderia me ajudar?

Grato..

por JEABM Qua 04 Out 2017, 18:33

Ngm sabe explicar? XD

por **Euclides** Qua 04 Out 2017, 19:41

os polígonos pares têm um eixo de simetria que passa por uma das diagonais. Isto não acontece nos polígonos ímpares. Partindo de um mesmo vértice

nos polígonos ímpares temos Diagonais duas a duas diferentes Latex_64316e2b3687cb03f44ff60fa1c7abae

Diagonais duas a duas diferentes Latex_64316e2b3687cb03f44ff60fa1c7abae

que são iguais duas a duas e assim constituem, a cada par, um mesmo "tipo" de diagonal

Diagonais duas a duas diferentes Latex_1fd06c6d812cec96fb646053c7bfb319

Diagonais duas a duas diferentes Latex_1fd06c6d812cec96fb646053c7bfb319

nos polígonos pares, devido à sua simetria, partindo de um mesmo vértice há uma diagonal que é única e que coincide com o eixo de simetria. Nesse caso subtraímos inicialmente essa diagonal e a somamos ao final

Diagonais duas a duas diferentes Latex_bb6ec236b8c90d9eae70b835673cac02

Diagonais duas a duas diferentes Latex_bb6ec236b8c90d9eae70b835673cac02

por JEABM Seg 09 Out 2017, 16:02

Boa tarde Euclides, n sei se entendi direito...

Qd o n de lados for impar ou par será n-3/2 (p deduzir) de onde a fórmula n-3 é o número de vertices adjacentes (q são 3, dois adjacentes e 1 sendo o próprio vértice escolhido) correto? E é divido por 2, pq senão contamos duas vezes. Como fiz no endecagono (acima) tem 4 medidas de diagonais ≠. Minha dúvida é no n par..pq ficou n-4/2 + 1? Sei que vc falou q devido a simetria há uma diagonal q é única e q coincide c o eixo de simetria...mas no quadrado aonde q a diagonal passa pelo eixo da simetria?

por **Euclides** Seg 09 Out 2017, 16:23

Sim, no quadrado as diagonais estão sobre eixos de simetria:

D=(4-2)/2 -> 1

são duas diagonais (iguais) e portanto do mesmo tipo

Diagonais duas a duas diferentes Fig2

por JEABM Seg 09 Out 2017, 21:32

Mas pq ficou n-4/2 + 1? Isso n enxerguei rs......

Vc falou q tira essa diagonal (q passa no eixo de simetria) sempre será -1 e junta c n-3 e depois soma c ela novamente? Viajei nisso xD

por **Euclides** Seg 09 Out 2017, 21:53

JEABM escreveu:Mas pq ficou n-4/2 + 1? Isso n enxerguei rs......

Vc falou q tira essa diagonal (q passa no eixo de simetria) sempre será -1 e junta c n-3 e depois soma c ela novamente? Viajei nisso xD

n=número de lados do polígono

se existe uma diagonal num eixo de simetria cada diagonal de um dos lados terá uma correspondente do outro lado. Apenas a diagonal única (sobre o eixo de simetria) não tem correspondente. Como queremos saber quantos tipos diferentes de diagonal existem, verificamos quantas existem de cada lado (por isso não contamos a que é única) e depois somamos a que lhes faz simetria. Nesse caso, desse vértice, partem 3 segmentos, dois dos quais não são diagonais e o terceiro é a diagonal única.

por JEABM Ter 10 Out 2017, 10:38

Euclides obg pelo esclarecimento...só p finalizar acima fiz o dodecagono e no vértice q escolhi tem uma diagonal q passa pelo eixo de simetria, mas se eu escolhe-se por exemplo o vértice adjacente a ele (O da esquerda) e trata-se TDS as diagonais nenhumas delas passaria pelo eixo de simetria......depende do modo q desenho os polígonos regulares pares? Agora entendi pq ficou n-3-1 /2 , esse -1 é pq tirou a diagonal q passa pelo eixo de simetria e depois add novamente ela..