Calcule o ângulo X

Na figura acima, AB = PC, calcule a medida do ângulo X.

up

BÂC + 24º + 30º = 180º ----> BÂC = 126 ----> BÂP = 126º - x

A^PC + x + 30º = 180º ----> A^PC = 150 - x -----> A^PB = x + 30º

Seja m = AB = PC

Lei dos senos ----> AB/sen(x + 30º) = AP/sen24º ----> AP = m*sen24º/sen(x + 30º) ----> I

PC/senx = AP/sen30º ----> m/senx = AP/(1/2) ----> AP = m/2*senx --->II

Iguale I e II, elimine m ----> Resta apenas x

Continue

AP = m*sen24º/sen(x + 30º)
AP = m/2*senx

m*sen24º/sen(x + 30º) = m/2*senx
sen24º/sen(x + 30º) = 1/2*senx
sen24°/senx*cos30 + sen30*cosx = 1/2*senx
sen(24°)*2sen(x) = senx*cos30 + sen30*cosx
sen(24°)*2sen(x) = [V3*sen(x)+cos(x)]/2
4sen(x)*sen(24°) = V3*sen(x)+cos(x)

Agora vem a "safadeza" da questão, não oferece o valor do sen de 24° nem o da resposta, então temos que nos auxiliar com uma tabela trigonometrica.(No meu caso a calc)

sen(24°) = 0,4067 (quatro casas só)

0,4067*4sen(x) = 1,732*sen(x)+cos(x)
-0,1052*sen(x) = cos(x)
0,011*sen²(x) = 1 - sen²(x)
1,011sen²(x) = 1
sen²(x) = 0,9891
sen(x) = + 0,9945

arcsen(0,9945) = 96°

x = 96°

:]

Obrigado pela ajuda Elcio

Arimateiab

Outro caminho:

sen(x + 30º) = 2*senx*sen24º ----> - sen(x + 30º) = - 2*senx*sen24º

Lembre-se que: cosp - cosq = - 2*sen[(p + q)/2]*sen[(p - q)/2]


- 2*senx*sen24º = - 2*sen[(p + q)/2]*sen[(p - q)/2]

(p + q)/2 = x ------> p + q = 2x ----> I

(p - q)/2 = 24º ----> p - q = 48º ----> II

I + II ----> 2p = 2x + 48 ----> p = (x + 24º) ----> q = (x - 24º)

- sen(x + 30º) = cos(x + 24º) - cos(x - 24º)

sen(x + 30º) = cos(x - 24º) - cos(x + 24º)

senx*cos30º + sen30º*cosx = (cos24ºcosx + sen24º*senx) - (cos24º*cosx - sen24º*senx)

senx*cos30º + cosx/2 = 2*sen24º*senx

2*senx*cos30º + cosx = 4*sen24º*senx

cosx = (4*sen24º - 2*cos30º)*senx

tgx = 1/(4*sen24º - 2*cos30º)

Lembre-se agora que:

sen72º = (\/5 + 1)/4 = sen(3*24º)
cos72º = (\/5 - 1)/4 = cos(3*24º)

sen(3a) = 3*sena - 4*sen³a ----> sen72º = 3*sen24º - 4*sen³24


Calcule sen24º e calcule tgx