Matrizes.1

por Lucazura Sáb 05 Ago 2017, 18:55

Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X² = Matriz Identidade de ordem 2.

Não estou conseguindo fazer

por SergioEngAutomacao Sáb 05 Ago 2017, 19:21

Seja X uma matriz qualquer de ordem 2.
Designaremos os termos dessa matriz da seguinte forma:

a11 = a
a12 = b
a21 = c
a22 = d

Do enunciado temos:

[a b] * [a b] = [1 0]
[c d] [c d] [0 1]

Usando produto de matrizes do lado esquerdo:

[a^2 + bc ab + bd] = [1 0]
[ca + cd cb + d^2] [0 1]

Disso temos que todas as matrizes da forma X^2 = Identidade é dada por todas as matrizes X em que seus elementos satisfazem:

a^2 + bc = 1
b(d+a) = 0
c(a+d) = 0
d^2 + cd = 1

por Lucazura Dom 06 Ago 2017, 12:30

Eu também cheguei nesse resultado, mas então, posso deixar a resposta assim?
a² + bc = 1
b(d+a) = 0
c(a+d) = 0
d² + cd = 1

por **Victor011** Dom 06 Ago 2017, 13:39

A ideia agora seria analisar os casos. Veja:

caso 1: (b = c = 0)

● a² = 1 → a = ±1 ● d² = 1 → d = ±1

Matrizes do caso 1:

[1 0] [1 0] [-1 0] [-1 0]
[0 1] , [0-1] , [ 0 1] , [0 -1]

caso 2: (b = 0 e c ≠ 0)

• c(a+d) = 0 → a = -d ● a² = 1 → a = ±1

logo: d² = 1 → cd = 0

impossível, pois c e d são diferentes de zero. Logo, não há solução para o caso 2.

caso 3: (c = 0 e b ≠ 0)

• b(d+a) = 0 → a = -d ● a² = 1 → a = ±1

note que nesse caso b pode assumir qualquer valor.
Matrizes do caso 3:

[1 b] [-1 b]
[0-1] , [0 1]

caso 4: (b ≠ 0 , c ≠ 0)

• b(d+a) = 0 → a = -d → a² = d² → bc = cd → b = d

Matrizes do caso 4:

[-b b]
[c b]

A união dos 4 casos é a solução da questão.

por Lucazura Dom 06 Ago 2017, 16:32

ahhhhh simmm,não pensei em analisar!!, agora entendi!!! Muito Obrigado!!!

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