Demonstre a identidade

por **abelardo** 9/5/2011, 1:22 am

Prove que $\dpi{120} \fn_cm \forall a,b, c$ pertecentes aos números reais.: $\dpi{120} \fn_cm a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$

O que fiz:De nº complexo não lembro nada kk, mas sei que nos reais $\dpi{120} \fn_cm (a+b)+c=0$ , então posso dizer que $\dpi{120} \fn_cm (a+b)= -c$ . Analisando a ''equação'' inicial $\dpi{120} \fn_cm (a^3+b^3)+c^3=3abc$ , vi que poderia desenvolver o produto notável...
$\dpi{120} \fn_cm a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)$ --> $\dpi{120} \fn_cm (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)+c^3=3abc$ -->

$\dpi{120} \fn_cm (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2+2ab-2ab)+c^3=3abc$ -->

$\dpi{120} \fn_cm (a+b)\cdot(a^2+2ab+b^2-ab-2ab)+c^3=3abc$ -->

$\dpi{120} \fn_cm (a+b)\cdot[(a^2+2ab+b^2)-ab-2ab]+c^3=3abc$ -->

$\dpi{120} \fn_cm (a+b)\cdot[(a+b)^2-3ab]+c^3=3abc$ --> lembrando que a+b= -c

$\dpi{120} \fn_cm (-c)\cdot[(-c)^2-3ab]+c^3=3abc$ -->

$\dpi{120} \fn_cm -c^3+3abc+c^3=3abc$ -->

$\dpi{120} \fn_cm 3abc=3abc$ $\dpi{80} \fn_cm C.Q.D.$

Gostaria de saber se há um outro método?

por **luiseduardo** 9/5/2011, 12:24 pm

Olá Abelardo,

Sim, existe uma outra resolução. Vi rapidamente sua resolução e não gostei muito.

a + b + c = 0

a,b,c e R

a³ + b³ + c³ = 3abc

Isso é fácil de se provar

Sabemos por polinômios simétricos que:

Sn = x^n + y^n + z^n

e

Sn = (x + y + z)Sn-1 - (xy + yz + zx).Sn-2 + (xyz).Sn-3

Para n = 3

x³ + y³ + z³ = 0 - (xy + yz + zx)(x + y + z) + (xyz)3
x³ + y³ + z³ = 3xyz

Sugiro se não conhece o assunto que o estude e aprenda a provar que Sn = (x + y + z)Sn-1 - (xy + yz + zx).Sn-2 + (xyz).Sn-3
Não é dificil provar, mas iria dar um pouco de trabalho para escrever no Latex.

Abraço.

Vale ressaltar que se x³ + y³ + z³ = 3xyz, então, x = y = z ou x + y + z = 0

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