Comparação de n. real c/raízes equação 2 grau

por **petras** Seg 17 Jul 2017, 23:35

Determinar m da equação de 2° grau mx² - 2(m-1)x - m -1=0 para que se tenha uma unica raiz entre -1 e 2 (R: m<3/2 e m#0 ou m>3)

por **Victor011** Ter 18 Jul 2017, 00:34

A ideia para resolver esse tipo de questão não é nada intuitiva, mas vale a pena entender e decorar para matar rapidamente outras questões semelhantes. Veja um exemplo de uma função de 2° grau que satisfaz a condição do problema: (tem uma única raiz entre -1 e 2)

Comparação de n. real c/raízes equação 2 grau Sem_ty25

Note na figura acima que f(-1) e f(2) possuem sinais contrários. Para uma função de 2° grau qualquer ter uma raiz entre -1 e 2, f(-1) e f(2) têm que ter sinais contrários, ou seja:

\\f(-1).f(2)<0\;\;(\ast)\\\\\begin{cases}f(-1)=m+2(m-1)-m-1=2m-3\\f(2)=4m-4(m-1)-m-1=3-m\end{cases}\\\\\text{substituindo em}\;(\ast):\\\\(2m-3).(3-m)<0\;\to\;m<3/2\;ou\;m>3\\\\\text{como a fun\c{c}\~ao \'e de segundo grau,}\;m\neq 0.\;\text{Logo}:\\\\\boxed{S=\{m\in\mathbb{R}-\{0\}|m<3/2\vee m>3\}}

por **petras** Ter 18 Jul 2017, 18:44

Grato Victor, esta análise já garante as duas situações:
x1 < -1 < x2 < 2 e -1< x1 < 2 < x2?

Caso ele especifique as posições das raízes seria necessário fazer mais algumas análises correto? Ex: Se fosse determinado que seria x1 < -1 < x2 < 2
precisaríamos fazer:
I) x1 < -1 < x2
S1=a.f(-1)<0 (garante um número entre as raízes)
II) x1 < x2 < 2
1)a.f(2) >0 (garante que o número não esteja entre as raízes)
2) ∆ > 0 (garante que tenha duas raízes reais e distintas)
3) S/2>2 (garante que o número esteja a direita das raízes
S2=1∩2∩3

S=(S1)∩(S2)

por **Victor011** Ter 18 Jul 2017, 19:15

Garante sim, Petras, mas resolver desse jeito é muito mais complicado (em relação a cálculos) , uma vez que x₁ e x₂ são encontrados por Bhaskara e possuem no meio deles raízes, geralmente, feias. Quanto à suas "análises específicas", elas estão corretíssimas! Inclusive, a análise do "∆ > 0" deve ser feita sempre. Eu esqueci de fazer na minha solução, embora não tenha afetado a resposta (por sorte), uma vez que o ∆ na questão é um polinômio de 2^o grau que é sempre maior que zero.