Comparação de um número real com raízes da equação

Determine m de modo que (m-1)x² - mx - 2m - 2 = 0 tenha raízes reais tais que -1 < x1 < x2.

Gabarito: m < - 2√2 / 3

Calculando o valor de delta

Delta=m^(2)-4*(m-1)*(-2m-2)
Delta=m^(2)-4(-2m^(2)-2m+2m+2)
Delta=m^(2)+8m^(2)-8=9m^(2)-8

Como X1 e X2 são diferentes, isso mostra que há duas raízes reais distintas. Sendo X1>-1 e X2>X1. Como tem que haver duas raízes reais distintas, teremos:

Assim, delta>0 ---> 9m^(2)-8>0

Achando as raízes de m, temos:

m'=[-0+raiz(-4*9*(-)]/18=(-0+12*raiz(2))/18=(2*raiz(2))/3

m"=-(2*raiz(2))/3

A equação do segundo grau:  9m^(2)-8=0 é uma parábola com concavidade voltada para cima, pois 9>0.

Assim, os valores que ela é positivo é:

Quando m>0, isto é, com m>(2*raiz(2))/3

Ou 

Quando m<0, isto é, com m<-(2*raiz(2))/3

Mas, a condição estabelecida no problema é:

X1>-1 e X2>X1.

Essa condição só é atendida, quando

m<-(2*raiz(2))/3. 

Se m>(2*raiz(2))/3 não funciona, ou fura na primeira parte com X1>-1 ou fura na segunda parte com X2>X1.

Lembrando que m tem que ser diferente de 1.

Obs.: Para conferir se de fato está correto, vc pode atribuir valores para o m. A raiz de m tem valor:

m=2*raiz(2))/3=0.94. a partir desse valor, vc pode ir testando.

X1=[m+raiz(9m^(2)-]/(2m-2)

X2=[m- raiz(9m^(2)-]/(2m-2)

Edu lima escreveu:Calculando o valor de delta

Delta=m^(2)-4*(m-1)*(-2m-2)
Delta=m^(2)-4(-2m^(2)-2m+2m+2)
Delta=m^(2)+8m^(2)-8=9m^(2)-8

Como X1 e X2 são diferentes, isso mostra que há duas raízes reais distintas. Porém, X1 e X2 são negativos, isto é, menores que zero. Então, o delta<0, pois se não fosse,  essa condição posta no problema não iria valer. Isto é de X1 e X2 ser menor do que -1.

Assim, delta---> 9m^(2)-8<0

Achando as raízes de m, temos:

m'=[0+raiz(-4*9*(-)]/18=(0+12*raiz(2))/18=(2*raiz(2))/3

m"=-(2*raiz(2))/3

Logo, como queremos uma raíz negativa, ou seja, "m<0", pois 9m^(2)-8<0
Com isso, m<-(2*raiz(2))/3

Obrigado pela resposta.
Não entendi como você deduziu que x1 e x2 são negativos se o problema disse que x1 e x2 são maiores que -1.

Desculpa aí, me equivoquei na hora de responder, fiz uma leitura errada da condição, estava lendo ao contrário kkkkkk. É o sono, estudando até tarde dar nisso. Mais já ajeitei...obg por ter avisado, senão iria te passar uma resposta errada.

Complemento dinâmico no Geogebra
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU - relação entre um parâmetro e os coeficientes / RASCmat #31
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Neste vídeo é analisado a variação de uma função do 2º grau em que os coeficientes estão dependentes de um parâmetro m, neste caso o intervalo de valores desse parâmetro de modo que a função tenha 2 raízes reais diferentes que obedeçam à condição  ( x1 compreendido entre -1 e x2 ).
Essa análise é comprovada dinâmicamente no Geogebra.

Link do vídeo: https://youtu.be/Ik7CG2v_Keo