Fuvest 2004 - Lei dos cossenos
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Fuvest 2004 - Lei dos cossenos
Olá a todos, estou com uma duvida nesse exercicio aqui, não consigo achar o meu erro.
Um triângulo ABC tem lados de comprimento AB=5, BC=4 e AC=2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.
Gab: 11/30
Seja este então o triangulo:
Como CM é bissetriz podemos dizer que AC está para AM assim como CB está BM, logo fazendo AM = y, 2/y = 4/ 5 - y => y = 5/3, portanto BM = 10/3
Com isso podemos dizer que o cosseno do angulo C^BA = a, é igual a BN/BC = (10/3 + x)/4 = (10 + 3x)/12
porém tambem podemos pela lei dos cossenos dizer que CA²= AB² + BC² - 2.AB.BC.Cos a, portanto 4 = 16 + 25 - 2.4.5.cos a,
logo 40.cos a = 45 => cos a = 9/8
porém cos a também é igual a (10 + 3x)/12
logo (10 + 3x)/12 = 9/8
com isso x = 7/6
aonde está o erro?
fiz exatamente o mesmo processo só que com o triangulo ACN e o cosseno de C^AN e deu o resultado do gabarito
Um triângulo ABC tem lados de comprimento AB=5, BC=4 e AC=2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.
Gab: 11/30
Seja este então o triangulo:
Como CM é bissetriz podemos dizer que AC está para AM assim como CB está BM, logo fazendo AM = y, 2/y = 4/ 5 - y => y = 5/3, portanto BM = 10/3
Com isso podemos dizer que o cosseno do angulo C^BA = a, é igual a BN/BC = (10/3 + x)/4 = (10 + 3x)/12
porém tambem podemos pela lei dos cossenos dizer que CA²= AB² + BC² - 2.AB.BC.Cos a, portanto 4 = 16 + 25 - 2.4.5.cos a,
logo 40.cos a = 45 => cos a = 9/8
porém cos a também é igual a (10 + 3x)/12
logo (10 + 3x)/12 = 9/8
com isso x = 7/6
aonde está o erro?
fiz exatamente o mesmo processo só que com o triangulo ACN e o cosseno de C^AN e deu o resultado do gabarito
_danielgnr- Padawan
- Mensagens : 56
Data de inscrição : 02/02/2017
Idade : 27
Localização : Matão
Re: Fuvest 2004 - Lei dos cossenos
Seu erro:
cos(C^BA) = BN/BC (e não BC/BN)
cos(C^BA) = BN/BC (e não BC/BN)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71807
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Fuvest 2004 - Lei dos cossenos
eu corrigi esse erro mestre, foi só de digitação, note que na hora de operar coloquei 10/3 + x / 4
_danielgnr- Padawan
- Mensagens : 56
Data de inscrição : 02/02/2017
Idade : 27
Localização : Matão
Re: Fuvest 2004 - Lei dos cossenos
"porém tambem podemos pela lei dos cossenos dizer que CA²= AB² + BC² - 2.AB.BC.Cos a, portanto 4 = 16 + 25 - 2.4.5.cos a,
logo 40.cos a = 37 => cos a = 37/40
porém cos a também é igual a (10 + 3x)/12
logo (10 + 3x)/12 = 37/40
com isso x = 11/30"
logo 40.cos a = 37 => cos a = 37/40
porém cos a também é igual a (10 + 3x)/12
logo (10 + 3x)/12 = 37/40
com isso x = 11/30"
Victor011- Fera
- Mensagens : 663
Data de inscrição : 21/10/2015
Idade : 25
Localização : Rio de Janeiro, Brasil
Re: Fuvest 2004 - Lei dos cossenos
muito obrigado! agora vi que somei errado 25 + 16 para 49
_danielgnr- Padawan
- Mensagens : 56
Data de inscrição : 02/02/2017
Idade : 27
Localização : Matão
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