Números complexos
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Números complexos
por EsdrasCFOPM Sex 07 Jul 2017, 12:42
Se um número complexo não nulo, z, satisfaz à condição z4 = – 8.|z|, então z + 
é
igual a
A) -√2, apenas.
B) 0
C) -√2 ou √2.
D) 2√2, apenas.
E) 2√2 ou -2√2.
igual a
A) -√2, apenas.
B) 0
C) -√2 ou √2.
D) 2√2, apenas.
E) 2√2 ou -2√2.
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Re: Números complexos
por Giovana Martins Sex 07 Jul 2017, 12:51
z4=-8|z| -> z8=64|z|2, mas, |z|2=|z2|=z2. Logo:
z8=64|z|2 -> z8=64z2 -> z2(z6-64)=0 -> z=0 (não convém) ou z=±2
O conjugado de z=-2 é 2, e o de z=2 é -2. De qualquer forma, a soma será nula. Errei algo?
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Re: Números complexos
por EsdrasCFOPM Sex 07 Jul 2017, 13:43
O conjugado de um número complexo não altera somente a parte imaginária não?
z=2 --> a+bi=2 --> a=2 e b=0
O conjugado seria o próprio 2 e a soma deveria ser 4 ou -4, não?
z=2 --> a+bi=2 --> a=2 e b=0
O conjugado seria o próprio 2 e a soma deveria ser 4 ou -4, não?
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Re: Números complexos
por fantecele Sex 07 Jul 2017, 14:19
z4 = – 8.|z|
Fazendo z = |z|.cis(x)
z4 = |z|4.cis(4x) = - 8.|z|
Sendo z ≠ 0 temos que |z| ≠ 0
|z|3.cis(4x) = -8
|z|3.cos(4x) = -8 (I) e |z|3.sen(4x) = 0 (II)
De (II) tiramos que devemos ter sen(4x) = 0, e sendo |z| um número positivo de (I) tiramos que cos(4x) = -1, portanto cis(4x) = -1.
De cis(4x) = -1, usando a segunda lei de Moivre, temos que x pode assumir os seguintes valores 45°; 135°; 225°; 315°.
Voltando em (I):
|z|³ = 8
|z| = 2
Dessa forma z = 2.cis(45) ou z = 2.cis(135) ou z = 2.cis(225) ou z = 2.cis(315)
Com isso os possíveis valores de z + são 2√2 ou -2√2.
Giovana, |z|2 = |z2| ≠ z2
Fazendo z = |z|.cis(x)
z4 = |z|4.cis(4x) = - 8.|z|
Sendo z ≠ 0 temos que |z| ≠ 0
|z|3.cis(4x) = -8
|z|3.cos(4x) = -8 (I) e |z|3.sen(4x) = 0 (II)
De (II) tiramos que devemos ter sen(4x) = 0, e sendo |z| um número positivo de (I) tiramos que cos(4x) = -1, portanto cis(4x) = -1.
De cis(4x) = -1, usando a segunda lei de Moivre, temos que x pode assumir os seguintes valores 45°; 135°; 225°; 315°.
Voltando em (I):
|z|³ = 8
|z| = 2
Dessa forma z = 2.cis(45) ou z = 2.cis(135) ou z = 2.cis(225) ou z = 2.cis(315)
Com isso os possíveis valores de z +
Giovana, |z|2 = |z2| ≠ z2
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Re: Números complexos
por EsdrasCFOPM Sex 14 Jul 2017, 14:09
Fantecele, me explica uma coisa: como você achou os ângulos de cis(4x)=-1 usando a 2ª lei de moivre? Tive que usar as equações trigonométricas. 
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Re: Números complexos
por fantecele Sex 14 Jul 2017, 19:54
Se não me engano eu tinha feito assim:
Considere z = cis(x), então z^4=(cis(x))^4 = cis(4x)
cis(4x) = -1
z^4 = -1
z^4 = cis(∏)
Aplicando a fórmula:
;k=0,1,2,3\\cis(x)=cis\left&space;(&space;\frac{\pi+2k\pi}{4}&space;\right&space;)\\x=\left&space;(&space;\frac{\pi+2k\pi}{4}&space;\right&space;);k=0,1,2,3 "\\z = cis\left ( \frac{\pi+2k\pi}{4} \right );k=0,1,2,3\\cis(x)=cis\left ( \frac{\pi+2k\pi}{4} \right )\\x=\left ( \frac{\pi+2k\pi}{4} \right );k=0,1,2,3")
Considere z = cis(x), então z^4=(cis(x))^4 = cis(4x)
cis(4x) = -1
z^4 = -1
z^4 = cis(∏)
Aplicando a fórmula:
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Re: Números complexos
por Giovana Martins Dom 16 Jul 2017, 00:53
Nossa, ando muito desatenta. Perdoe-me, Esdras. Obrigada, fantecele.
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Re: Números complexos
por EsdrasCFOPM Dom 16 Jul 2017, 07:02
"errare humanum est", gio. Não há nada com o que se preocupar ou pedir perdão. Queria eu com 16 anos ter um conhecimento aguçado e dedicação aos estudos como você. Abraços!
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