Probabilidade

As faces de um dado honesto são numeradas de 1 a 3 (cada número aparece duas
vezes). Seja pn a probabilidade de que a soma das faces obtidas em n lançamentos seja par. Explique porque a sequência pn satisfaz a recorrência pn+1 = 2/3 - 1/3.pn . Qual é o

valor de p1?

Olá Cristina.

Vamos pensar da seguinte forma, começando para n = 2.

(2, 2), (3, 1), (1, 3), (3, 3), (1, 1) = 5 possibilidades

Para a soma de 3 números serem par, a soma de dois deles devem ser par e o outro será par.

Como queremos uma relação de recorrência, as soluções dos anteriores servirá como solução para n = 3, considerando o par de solução anterior, junto com o número 2

Sendo (a, b) o par solução da anterior

(2, (a, b)), ((a), 2, (b)), ((a, b), 2)

Então 2 irá interagir com os outros 5 pares de solução 3 vezes.

3 * 5 = 15

Porém, tem o caso em que cairia o par (2, 2), e deveremos descontar dois deles

((2), 2, 2), (2, (2), 2), (2, 2, (2))

15 - 2 = 13 possibilidades 

Portanto a probabilidade seria,

(1/3)³ * 13 = 13/27

A partir aqui eu vou usar um raciocínio recursivo para considerar os demais casos.

Se eu sei que em 3 jogadas a probabilidade da soma ser par é 13/27, para o próximo caso eu poderia considerar o seguinte:

Na quarta jogada eu consigo par, portanto

13/27 * 1/3 = 13/81 <- probabilidade da soma dos 3 primeiros serem ímpares e a probabilidade da quarta jogada ser par também, portanto, a soma dos 4 serão par.

E o outro caso seria que a soma dos 3 primeiros da ímpar, e o quarto é um ímpar

Se a chance da soma dos três primeiros serem par é 13/27, a chance de ser ímpar é (27 - 13)/27 = 14/27

Como estou considerando a probabilidade da soma dos três primeiros serem ímpar, eu quero que o quarto seja ímpar, ou seja

14/27 * 2/3 = 28/81

Somando tudo, temos

13/81 + 28/81 = 41/81

Expressando a probabilidade da soma da n-ésima jogada ser par por an e em função de n, ficaria:


\mathsf{a_n=\dfrac{1}{3}\cdot a_{n-1}+\dfrac{2}{3}\cdot(1-a_{n-1})}


Acima está escrito exatamente o que queremos. No primeiro fator onde o termo antecessor é multiplicado por 1/3, consideramos na quarta jogada que o número seja exatamente o 2, dessa forma dará a soma dos 4 iguala  par.

No segundo fator, consideramos os casos não favoráveis subtraindo 1 unidade dos casos favoráveis

Cf + Cn = 1

Casos favoráveis mais casos não favoráveis é igual a 1.

Ali resultará na soma de três ímpares, e multipliquei pela probabilidade da quarta jogada cair ou o número 1 ou o número 3, dessa forma a soma será par.


\mathsf{a_n=\dfrac{1}{3}\cdot a_{n-1}+\dfrac{2}{3}\cdot(1-a_{n-1})}\\\\\\\mathsf{a_n=\dfrac{a_{n-1}}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2a_{n-1}}{3}}\\\\\\\mathsf{a_{n}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{a_{n-1}-2a_{n-1}}{3}}\\\\\\\mathsf{a_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{a_{n-1}}{3}}\\\\\\\boxed{\mathsf{a_{n+1}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{a_n}{3}}}


\boxed{\mathsf{a_{n+1}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{a_n}{3}}}\\\\\\\mathsf{a_2=\dfrac{5}{9}}\\\\\\\mathsf{a_2=\dfrac{2}{3}-\dfrac{a_1}{3}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{5}{9}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{a_1}{3}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{5}{3}=2-a_1}\\\\\\\mathsf{a_1=\dfrac{6}{3}-\dfrac{5}{3}}\\\\\\\mathsf{a_1=\dfrac{1}{3}}


Se ficou com dúvida avise.

Oi, Boa tarde

Nossa, difícil,  acho que entendi, mas vou dar mais uma super olhada, para ver se não ficou nenhuma dúvida. Muito obrigada. Valeu!!!!

Questão super interessante. Utilizar as probabilidades anteriores para considerar a próxima com uma relação recursiva é genial