ITA Funções

por Convidado Seg 29 maio 2017, 16:28

(ITA-92) Dadas as funções f:ℜ→ℜ e g :ℜ→ℜ, ambas
estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h =
fog. Então podemos afirmar que:
a) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é
estritamente crescente.
b) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é
estritamente crescente.
c) h é estritamente crescente, mas não necessariamente
inversível.
d) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é
estritamente decrescente.
e) nda

O gabarito diz a), mas estou com a e).

por **Willian Honorio** Seg 29 maio 2017, 18:20

Sobre a inversibilidade: toda função estritamente crescente ou estritamente decrescente é injetora, como f e g são sobrejetoras e estritamente decrescentes, f e g são bijetoras. Sabemos portanto que sua composta também o é (a composição de duas funções bijetoras produz uma função bijetora). Concluindo que h é inversível.

$h(x)=f\circ g(x)\\\{x_{1},x_{2}\}\,\subset \,\mathbb{R}\\x_{1}>x_{2}\,\text{por suposi\c{c}ao}\\g(x_{1})=y_{1}\\g(x_{2})=y_{2}\\\therefore \\g(x_{1})<g(x_{2})\,\,\text{por g ser estritamente decrescente}\\\text{isto e}\,y_{1}<y_{2}\\h(x_{1})=f\circ g(x_{1})\\h(x_{1})=f(g(x_{1}))=f(y_{1})\\h(x_{2})=f(y_{2})\,\,\\\text{sendo f estritamente decrescente:}\\h(x_{1})>h(x_{2})\,\,\text{isto e:}\,f(y_{1})>f(y_{2})$

Mas como x1>x2:

$x_{1}>x_{2}\Rightarrow h(x_{1})>h(x_{2})$

H é estritamente crescente. No que diz respeito a inversa:

$h(x_{1})=y_{1}\\x_{1}=h^{-1}(y_{1})\\h(x_{2})=y_{2}\\x_{2}=h^{-1}(y_{2})\\x_{1}>x_{2}\Rightarrow h(x_{1})>h(x_{2})\\h^{-1}(y_{2})>h^{-1}(y_{1})\Rightarrow y_{1}>y_{2}$

Logo, a inversa de h é estritamente crescente. A alternativa que satisfaz essas desigualdades é a A.

por **Willian Honorio** Seg 29 maio 2017, 23:01

Vou querer ver a sua resolução. A C é absurdo, não só pelo que te provei como conceitual também.

por **Willian Honorio** Ter 30 maio 2017, 13:27

Bom, o rapaz RioBrancoABC disse inicialmente que a sua resolução deu a E, e disse que o gabarito era a A, após a minha resolução, o mesmo disse que na verdade o gabarito era a C. Por algum motivo, ele excluiu esse comentário. Caso algum colega esteja pesquisando essa questão, o gabarito de fato é a A e a minha resolução está correta, possuo o gabarito dessa prova como a resolução feita pelo Anglo Vestibulares, que coincide com a minha.

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