Raízes de uma equação.

por Victor4610 Qui 20 Abr 2017, 18:33

Olá a todos !

Não estou conseguindo resolver uma questão e gostaria muito da ajuda de vocês. A questão segue abaixo:

Questão) (U. F. Uberlândia-MG) Quais são as raízes da equação dada abaixo, sendo x > 0 ?

$\begin{vmatrix} log_{3}(x) & log_{3}(x^{3}) & log_{3}(x^{9})\\ 3^{x} & 9^{x} & 27^{x}\\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0$

Infelizmente não possuo o gabarito da questão.

Eu tentei usar o Teorema de Laplace na terceira linha, ficando

$D =a_{33}.A^{33} = 3 . (-1)^{3+3} . \begin{vmatrix} log_{3}(x) & log_{3}(x^{3})\\ 3^{x}& 3^{2x} \end{vmatrix} = 3. [3^{^{2x}}.log_{3}(x) - 3^{x}.3log_{3}(x)]$

fazendo $3^{x} = y$

$3. [y^{^{2}}.log_{3}(x) - 3y.log_{3}(x)]$

desenvolvendo isso aí cheguei em algo como : $3y.[log_{3}(\frac{x^{y}}{x^{3}})]$

Tentei algumas coisas além daí, mas nada Sad

por **Giovana Martins** Qui 20 Abr 2017, 19:07

Victor, vou fazer do meu jeito, veja se você entende:

log₃ x, log₃ x³=3log₃ x e log₃ x⁹=9log₃ x
3^x, 9^x=3^2xe 27^x=3^3x

Calculando o determinante com os valores em vermelho:

(3¹.3^2x.log₃ x)-(3¹.3^x.3¹.log₃ x)=0 -> log₃ x.(3^2x+1-3^x+2)=0

log₃ x=0 -> x=1

3^2x+1-3^x+2=0 -> x=1

Portanto, S={1}.

Nota: Por favor, verifique as contas, pois neste momento estou sem papel e lápis.

por **Elcioschin** Qui 20 Abr 2017, 19:36

Outro modo, usando Sarrus e levando em conta a condição de existência x > 0:

3.9^x.log₃x - 3.3^x.log₃x³ = 0 (Todos os demais termos do determinante são nulos)

3.(3²)^x.log₃x - 3.3^x.3.log₃x = 0

3.(3^x)².log₃x - 9.3^x.log₃x = 0 ---> Colocando 3.3^x.log₃x em evidência:

3.3^x.log₃x.(3^x - 3) = 0 ---> 3.3^x ≠ 0 ---> Temos duas soluções possíveis:

1) log₃x = 0 ---> x = 1

2) 3^x - 3 = 0 ---> 3^x = 3¹ ---> x = 1

Solução final: x = 1

por Victor4610 Qui 20 Abr 2017, 20:46

Muito obrigado pelas resoluções, Giovana Martins e Elcioschin !

Olhando a resoluções de vocês eu consegui perceber meu erro. Tinha um 3 bem escondido ai do lado do logaritmo e eu esqueci de multiplica-lo kkkk

Obrigado !