Triângulo Isósceles, valor do ângulo X

por **arimateiab** Ter 05 Abr 2011, 13:04

Na figura abaixo, AB = AC. Calcule X.

Triângulo Isósceles, valor do ângulo X Triangulob

A)20º
B)28º
C)28º30'
D)30º

por **Adam Zunoeta** Ter 05 Abr 2011, 13:53

https://pir2.forumeiros.com/t11564-geometria-plana-angulos-em-triangulos
O post do Luck tem a resolução dela.

por **Elcioschin** Ter 05 Abr 2011, 19:28

Façamos BC = m.

No Δ isósceles ABC: ângulo ABC = ângulo ACB = (180º - 20º)/2 = 80º ---> ângulo CBE = 80º

Ângulo DBE + ângulo CBD = ângulo ABC ---> ângulo DBE + 60º = 80º ---> ângulo DBE = 20º

Ângulo ECD + ângulo ECB = ângulo ACB ---> ângulo ECD + 50º = 80º ---> ângulo ECD = 30º

No Δ CBE: ângulo BEC + ângulo BCE + ângulo CBE = 180º ----> ângulo BEC + 50º + 80º = 180º ---->
ângulo BEC = 50º. Logo, o Δ CBE é isósceles (50º, 50º, 80º) e BE = BC = m.

No Δ BDC: ângulo BDC + ângulo DBC + ângulo BCD = 180º ----> ângulo BDC + 60º + 80º = 180º ---->
ângulo BDC = 40º.

Agora é que vem o “pulo do gato”:

Marquemos sobre a reta CD um ponto F tal que: ângulo CBF = 20º e tracemos a reta BF. Tracemos também a reta EF.

No Δ BCF: ângulo CFB + ângulo BCF + ângulo CBF = 180º ----> ângulo CFB + 80º + 20º = 180º ---->
Ângulo CFB = 80º. Logo, o Δ BCF é isósceles (80º, 80º, 20º) e BF = BC = m.

Ângulo DBF + ângulo CBF = ângulo CBD ----> ângulo DBF + 20º = 40º ----> ângulo DBF = 40º.

No Δ BDF: ângulo BDF = ângulo DBF = 40 º ----> Logo, o Δ FBD é isósceles e DF = BF = m.

No Δ BEF: BE = BF = m, logo o triângulo BEF é isósceles. Logo, ângulo BEF = ângulo BFE =
(180º - ângulo EBF)/2 = (180º – 60º)/2 = 60º. Logo o triângulo BEF é equilátero ----> EF = m.

Ângulo BFC + ângulo BFE + ângulo DFE = 180º ---> 80º + 60º + ângulo DFE = 180º ---> ângulo DFE = 40º.

O Δ FDE é isósceles (EF = DF = m) ----> ângulo DEF = ângulo EDF = (180º - ângulo DFE)/2 ---->
ângulo DFE = (180º - 40º)/2 = 70º ---> ângulo EDB + ângulo BDF = ângulo DFE ---> X + 40º = 70º ---> X = 30º.

por **arimateiab** Qua 06 Abr 2011, 17:09

EXCELENTE resolução Elcio, Obrigado!! cheers

por Marcos Qua 06 Abr 2011, 19:27

Um complemento da brilhante solução do Membro de Honra Grande Mestre, Elcioschin.

Triângulo Isósceles, valor do ângulo X Tringulo

Marque $K$ em $AC$ tal que $\measuredangle KBC=20^{\circ}$ .Trace $KB$ e $KE$ .
$\measuredangle BEC=\measuredangle ECB$ ,e assim $\Delta BEC$ é isósceles com $BE=BC$ .
$\measuredangle BKC=\measuredangle BCK$ ,e assim $\Delta BKC$ é isósceles com $BK=BC$ .
Consequentemente $BE=BK$ . $\measuredangle EBK=60^{\circ}$ , e assim $\Delta EBK$ é equilátero.
$\measuredangle BDK=\measuredangle DBK=40^{\circ}$ e assim $\Delta BDK$ é isòsceles,com $KD=KB=KE$ .
Assim $\Delta KDE$ é isósceles,com $\measuredangle EKD=40^{\circ}$ ,desde $\measuredangle EKC=140^{\circ}$ .
Consequentemente $\measuredangle EDK=70^{\circ}$ ,rende $\measuredangle EDB=30^{\circ}$ $\Rightarrow$ $Resposta:(D)$ .