Termodinâmica - OBF 2013 - Nível 2 - 3a Fase

Eduard Rüchardt propôs um método simples para se medir a razão γ=CP/CV de um gás ideal, onde CP é a capacidade calorífica a pressão constante e CV a capacidade calorífica a volume constante. A figura ao lado mostra esquematicamente o arranjo usado. O recipiente contém um gás, considerado ideal, inicialmente com volume V0, pressão P0 e está em equilíbrio térmico. O êmbolo cilíndrico tem massa m, área da base A, altura L e é livre para se mover ao longo do recipiente. Na posição de equilíbrio o peso do êmbolo equivale à força exercida pelo gás. O êmbolo é tirado da posição de equilíbrio por uma pequeno deslocamento y alterando o estado do gás. O gás exercerá sobre o êmbolo uma força restauradora fazendo-o oscilar com uma frequência característica que depende de γ. Supondo que a transformação seja adiabática e desprezando-se o atrito entre o êmbolo e o recipiente, (a) encontre a variação de pressão ∆P. Para isso use a aproximação (1±∆V/V)γ ≈1±γ∆V/V, já que a variação relativa do volume é pequena, (b) encontre a força restauradora atuando no êmbolo mantendo apenas termos de ordem linear em y, (c) determine γ em função período de movimento do êmbolo e dos dados fornecidos no problema. 

Eu fiz a questão do ano passado, que era praticamente a mesma que essa, mas pedia para demonstrar o período somente. Vou resolver mais ou menos da mesma maneira que resolvi aquela, mas não sei se estaria certo, pois pediram para usar a aproximação, e eu faço de um jeito que não a utiliza. Enfim, qualquer erro, me avise.

P{ V }^{ \gamma  }=cte

diferenciando temos

{ V }^{ \gamma  }dP+P\gamma { V }^{ \gamma -1 }dV= 0\quad 

como é vetorial, podemos ignorar o sinal e trabalhar em módulo (igual a força restauradora, que é kx, mas como é vetorial fica -kx)

{ V }^{ \gamma  }dP=P\gamma { V }^{ \gamma -1 }dV\\ \\ dP=\frac { P\gamma { V }^{ \gamma -1 }dV }{ { V }^{ \gamma  } } =\frac { P\gamma { V }^{ \gamma  }dV }{ { V }^{ \gamma  }V } \\ \\ dP = \frac { P\gamma  }{ V } dV

essa seria, então, a variação de pressão (letra A).

Para achar a força,

 P=\frac { F }{ A } ,\quad F=PA\\ \\ dF\quad =\quad AdP

Porém já conhecemos dP,

 dF=A\frac { P\gamma  }{ V } dV

essa seria, então, a letra B.


Não compreendi exatamente a letra C, então vou demonstrar o período e isolar o gamma, pois até onde sei, este método é útil para achar o gamma pois período é algo fácil de perceber, e o resto é constante.

Sendo a variação de volume igual a área vezes a variação de altura (dV = Ady) onde y, de acordo com o enunciado, é a variação de altura.

 dF=A\frac { P\gamma  }{ V } dV=A\frac { P\gamma  }{ V } Ady=\frac { { A }^{ 2 }P\gamma  }{ V } dy=kdy\quad (MHS)

Assim, para finalizar,

k=\frac { { A }^{ 2 }P\gamma  }{ V } \\ T=2\pi \sqrt { \frac { m }{ k }  } =2\pi \sqrt { \frac { mV }{ { A }^{ 2 }P\gamma  }  } =\frac { 2\pi  }{ A } \sqrt { \frac { mV }{ \gamma P }  } \\ { T }^{ 2 }=\frac { 4{ \pi  }^{ 2 }mV }{ { A }^{ 2 }\gamma P } \\ \gamma =\frac { 4{ \pi  }^{ 2 }mV }{ { A }^{ 2 }{ T }^{ 2 }P }