Divisão de Polinômio

Um polinômio p(x) , com coeficientes reais, é tal que p(0) = 2 e p(−1) = 3. Se r(x) é o resto da
divisão de p(x) por x² + x , então r(7) = -5

Sei fazer a divisão de um polinômio, mas não consigo visualizar o que devo dividir, peço ajuda e explique o raciocínio para montar o polinômio. Grato.

Ricardo Nascimento312 escreveu:Um polinômio p(x) , com coeficientes reais, é tal que p(0) = 2 e p(−1) = 3.  Se r(x) é o resto da divisão de p(x) por x² + x  , então r(7) = -5

Sei fazer a divisão de um polinômio, mas não consigo visualizar o que devo dividir, peço ajuda e explique o raciocínio para montar o polinômio. Grato.

Boa tarde, Ricardo.

Considerei a forma do polinômio como sendo:
p(x) = ax² + bx + c

p(0) = a(0)² + b(0) + c = 2
p(0) = c = 2

p(-1) = a(-1)² + b(-1) + 2 = 3
p(-1) = a - b + 2 = 3

a - b = 3 -2
a - b = 1
b = a - 1

Então o polinômio em pauta seria:
p(x) = ax² + (a-1)x + 2


Variando-se o valor de a, obteremos infinitas soluções válidas:
Exemplos:
a=5 → p(x) = 5x² + 4x + 2
a=7 → p(x) = 7x² + 6x + 2
etc.

E a divisão por x²+x seria:

ax² + (a-1)x + 2 |_x²+x__
-ax² - ax ............. a
--------------
........ -x + 2 (resto)

Se nela fizermos x=7, teremos o respectivo resto:
-x + 2 = -7 + 2 = -5

Conferindo:
p(0) = a(0)² + (a-1)(0) + 2
p(0) = 2

p(-1) = a(-1)² + (a-1)(-1) + 2
p(-1) = a - a+1 + 2
p(-1) = 3

r(7) = ax² + (a-1)x + 2 - a(x²+x) = ax² + (a-1)x + 2 -ax² - ax = -x+2 = -7+2 = -5

Foi o que consegui fazer,,,




Um abraço.

Boa tarde, compreendi, agradeço a atenção e ajuda, apenas uma dúvida, quando você diz

"Considerei a forma do polinômio como sendo:
p(x) = ax² + bx + c"

Isso teve um motivo, é regra isso? É que já vi diversos polinômios de quinto, quarto, terceiro grau, etc...

Ricardo Nascimento312 escreveu:Boa tarde, compreendi, agradeço a atenção e ajuda, apenas uma dúvida, quando você diz

"Considerei a forma do polinômio como sendo:
p(x) = ax² + bx + c"

Isso teve um motivo, é regra isso? É que já vi diversos polinômios de quinto, quarto, terceiro grau, etc...

Como indica divisão de p(x) por x²+x, então o polinômio p(x) deverá ser, no mínimo, do 2° grau.
Então, comecei por um polinômio do 2° grau.
Tentei fazer p(x) como sendo do 3° grau (ax³ + bx² + c + d), mas ficou mais complicado.



Um abraço.