álgebra vetorial 2

Determine os vetores de módulo 14 e paralelos ao vetor resultante dos vetores v1 = 2i + j - 3k e v2 = 4i - 3j + 6k.

gabarito: ± 2 (6i - 2j + 3k)

Vetor resultante = V1 + v2 = v1 = 2i + j - 3k + 4i - 3j + 6k = 6i - 2j + 3k
o módulo do vetor resultante é (6² + (-2)² + 3²)^(1/2) = 7
um vetor de módulo 14 paralelo a essa resultante vai ter 2*(VETOR RESULTATE)
= 2*(6i - 2j + 3k) = 12i - 4j +6k

Porque terá dois vetores resultantes? :s

Porque existe um vetor no mesmo sentido do vetor resultante v1 + v2 e outro no sentido contrário. Existem infinitos vetores paralelos ao resultante, mas de norma = 14 só existem dois, de sentidos opostos. (Esse é o argumento geométrico)

A maneira mais correta de fazer esse exercício é a seguinte.

Método Algébrico:

seja v1 = 2i + j - 3k e v2 = 4i - 3j + 6k. e V o vetor resultante v1 + v2, logo V = v1 + v2 = 6i -2j + 3k

seja U = ai + bj + ck outro vetor não nulo.

se U é paralelo a V, logo a sequência de vetores (U, V) é LD (Linearmente dependente), ou seja, existe ß pertencente aos reais diferente de zero tal que V = ßU.

ou seja:

(6, -2, 3)=(ßa, ßb, ßc)

6 = ßa (1)
-2 = ßb (2)
3 = ßc (3)

de (1) e (3) temos:
ßa/2 = 3 = ßc
ßa = 2ßc
como ß é diferente de zero:
a = 2c

de (2) e (3) temos
-2 = ßb
-2.(3/3)= ßb
3 = -(3/2).ßb = ßc
como ß é diferente de zero:
b = -(2/3).c


a outra informação é que a norma de U é igual a 14, logo:
a² + b² + c² = (14)²

(2c)² + [-(2/3).c]² + c² = 14²= 4c² + (4/9)c² + c² = (49/9).c²
c² = (9.14²)/49
c = ± (3.14)/7 = ± 6

(o ponto "." está sendo utilizado para marcar a operação de multiplicação)

para c = 6

a = 2c = 2.6 = 12
b = -(2/3).c = -(2/3).6 = -4

U = (12, -4, 6)

-2 = ßb
ß = 1/2

para c = -6

a = 2c = 2.(-6) = -12
b = -(2/3).c = -(2/3).(-6) = 4

U = (-12, 4, -6)

-2 = ßb
ß = -1/2

(6, -2, 3)=ß(a, b, c)

(6, -2, 3)=(1/2)(12, -4, 6)
ou
(6, -2, 3)=(-1/2)(-12, 4, -6)

Agora você faz a verificação e percebe que só existe esse ß, que a norma do vetor é 14, e que os vetores realmente são LD.

Resposta:
U = ±(12, -4, 6)