Sistemas Lineares

Olá, amigos.
Tudo bem ?
Comecei hoje o meu estudo de Sistemas Lineares e gostaria de saber se  vocês poderiam me auxiliar num exercício da UPE para que eu possa prosseguir com meus estudos sobre essa matéria.
Obrigado.

(UPE) Considerando o sistema {5x + 3y + 4z = 3   
                                          {15x + 3y + 8z = 6
                                          {20x + 12y + 16z = 12
o sistema é ?

R: 1 e 1 : O sistema é possível e indeterminado

Eu sei que para um sistema ser possível e indeterminado tem de haver infinitas soluções.

Inicialmente eu fiz assim: multipliquei a linha 1 e subtraí com a linha 2 e multipliquei a linha 2 por 4 e subtraí pela linha 3, ficando:
{5x + 3y + 4z = 3
{0x + 6y + 4z = 3

A partir daí não consegui.
Poderiam me ajudar ? É a 1ª questão do meu livro de exercícios de vestibulares sobre esse assunto.
Obrigado.

A linha3 = 4×linha1  ----->  portanto uma linha é combinação linear da outra  ---->  o sistema é indeterminado.
De fato, temos 2 equações e 3 incógnitas.


Mas é possível. Há várias soluções. Para cada valor que se atribuir a x (ou a y), obtemos um y (ou um x) e um z que satisfazem o sistema.

Medeiros, amigo, muito obrigado pela sua ajuda.
Me desculpe a minha ignorância sobre o assunto, mas não consegui entender sua resolução. Se puder me explicar de uma maneira mais simples, estará me ajudando bastante.

É o seguinte. Temos três incógnitas e aparentemente três equações. Isto seria suficiente para podermos determinar um único valor para cada uma das incógnitas. Porém, a 1a e a 3a equações são a mesma equação, logo temos apenas duas equações. Por isso não conseguimos determinar um único valor para as três incógnitas e, assim, o sistema fica indeterminado.

Então temos somente duas equações distintas. Podemos trabalhar com a primeira e a segunda ou com a terceira e a segunda, tanto faz. O importante é que conseguimos escolher duas incógnitas e deixá-las uma em função da outra; a terceira é obtida trabalhando com o sistema de (agora) duas equações. Escolhi relacionar x com y.

Se deixamos ("separamos") y em função de x, ficamos com z em função de x. Assim, para cada valor de x que experimentamos, obtemos um y e um z que satisfazem as equações dadas. Por ser possível achar valores que satisfazem as equações o sistema é possível. Como os valores que podemos arbitrar para x são infinitos, também o serão os obtidos em y e z, desta forma o sistema fica indeterminado.