(ITA 1990)- Funções

Seja f:R→R a função definida por f(x)=
x+2 se x ≤ -1
x² se -1< x ≤ 1
4, se x>1
Lembrando que se A⊂ R, então f^-1(A)={x ∈R: f(x)∈ A)
I-f não é injetora  e f^-1([3,5])={4}
II- f não é sobrejetora e f^-1([3,5)]=f^-1([2,6])
III-f é injetora se e f^-1([0,4])=]-2,+∞[
Então podemos garantir que
a) Apenas as afirmações II e III são falsas; 
b) As afirmações I e III são verdadeiras; 
c) Apenas a afirmação II é verdadeira; 
d) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
e) Todas as afirmações são falsas.  

Fazendo o gráfico eu conclui que:
Im= R - ]-1,4] e, portanto, não é sobrejetora.
Por exemplo, -1 é diferente de 1, mas f(-1)=f(1)=1, logo não é injetora. Daí eu sei que III é falsa.
I- é falsa, porque, para [3,5], f(x)=4, ou seja, não é injetora e, portanto não é bijetora(ou seja,não é inversível)
Para mim a II seria falsa pelo mesmo motivo da I, mas não consigo descobrir porque ela é verdadeira.

O item II fala da  função inversa, note o enunciado:

f^{-1}(A)=\{x\in\mathbb{R}: \ f(x)\in A\}

Para [3, 5]

f^{-1}([3,\ 5])=\{x\in\mathbb{R}: f(x)\in [3, \ 5]\}

Que valor de f(x) pertence a esse intervalo?  O 4! A inversa é x > 1

Com um raciocínio análogo, notamos que 4 também pertence a [2, 6], logo, a inversa dessas funções será a mesma.

Tive a mesma duvida do colega quantro a alternativa II e nao consegui entender a explicação dele ↑. Alguem poderia me ajudar? Desde já agradeço!

Buscando lá no princípio da definição de inversão de funções:

Se eu tenho uma função f que pega um valor A e transforma num valor B, a inversa dessa função irá pegar um valor B e transformar no valor A.

Guardemos esse pensamento.

III - Falsa, pois percebemos que f não é injetora ( x > 1 sempre gera y = 4)
I - Acabamos de concluir que f não é injetora, logo, essa parte da resposta está correta. Agora, vamos avançar...
f-1 ([3, 5])
O que significa essa notação?
Pelo o que eu compreendi, significa que estamos pegando um x = 3 e queremos transformá-lo de volta para o conjunto original...
Conforme mencionei no início da solução:

Se eu tenho uma função f que pega um valor A e transforma num valor B, a inversa dessa função irá pegar um valor B e transformar no valor A.

Oras... temos B. Queremos A.
Todavia, perceba que nossa função f é incapaz de gerar um valor 3 ou o valor 5. Ou seja, não existe A que aplicado em f nos de B!!!! Portanto, não existe B que aplicado em g nos de B. Concluímos que essa questão está falsa.
Deveria ser
f-1 ([3, 5]) = conjunto vazio

II - Pelo mesmo raciocínio da alternativa I podemos confirmar a alternativa II. Perceba que nossa equação será conjunto vazio = conjunto vazio...

Com isso chegamos em LETRA C.

Eu achei essa questão mal elaborada, pois o conceito de função inversa, na minha concepção, aparece distorcido!
Além disso, as notações usadas não são muito claras...