Equação Trigonométrica UPF 2015/2

por leco1398 Ter 24 maio 2016, 10:34

A quantidade de soluções reais da equação trigonométrica de [0,3pi] sen⁴x - cos⁴x = 1/2 é:

R:6 soluções.

Como resolvo?

por Convidado Ter 24 maio 2016, 12:20

leco1398 escreveu:A quantidade de soluções reais da equação trigonométrica sen⁴x - cos⁴x = 1/2 é:

R:6 soluções.

Como resolvo?

Qual o intervalo? ou a questão não deu?

por silvergun Ter 24 maio 2016, 14:41

Fipe escreveu:
leco1398 escreveu:A quantidade de soluções reais da equação trigonométrica sen⁴x - cos⁴x = 1/2 é:

R:6 soluções.

Como resolvo?
Qual o intervalo? ou a questão não deu?

Como o fipe falou: para ter 6 soluções ele tem que ter dado um certo intervalo.

Porém, vamos buscar a resolução onde obtemos infinitas soluções:

\\\sin^{4} x-\cos^{4} x=\frac{1}{2}\\\\(\sin^{2} x-\cos^{2} x).(\sin^{2}x+\cos^{2} x)=\frac{1}{2}\\\\Sendo:\;\sin^{2} x+\cos^{2} x=1\\\\\sin^{2} x-\cos^{2} x=\frac{1}{2}\;\;.(-1)\\\\\cos^{2} x-\sin^{2} x=\frac{-1}{2}\\\\\cos 2x=\frac{-1}{2}

A partir daqui, teremos 2 casos:

Considerando\;k\in\;\mathbb{Z}\;temos:\\\\1o\;caso:\\\\2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\\\\x=\frac{\pi}{3}+k\pi\\\\\\2o\;caso:\\\\2x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\\\\x=\frac{2\pi}{3}+k\pi\\\\\\Solucao:\\\left \{x\in\mathbb{R}|\;x=\frac{\pi}{3}+k\pi\;\cup\;x=\frac{2\pi}{3}+k\pi\;,k\in \mathbb{Z} \right \}

Espero ter ajudado.

por **Elcioschin** Ter 24 maio 2016, 15:51

Rebecca

Houve um errinho numérico:

(sen²x - cos²x).(sen²x + cos²x) = 1/2

(sen²x - cos²x).1 = 1/2

sen²x - cos²x = 1/2 (e não -1/2)

por silvergun Ter 24 maio 2016, 23:51

corrigido, elcio. agradeço.

por leco1398 Dom 29 maio 2016, 11:44

opa, me desculpem, corrigi o problema, o intervalo era de 0 a 3pi

por **Elcioschin** Dom 29 maio 2016, 19:41

A solução já foi feita pela Rebecca para um intervalo infinito.

Caba a você, agora) descobrir quais raízes interessam no intervalo dado

por anero1 Sex 11 Nov 2016, 20:20

Uma pergunta básica : por que não pode fazer usando a relação fundamental da trigonometria e daí ficaria assim (1-cos^2x)^2-(cos^2x)^2=1/2 e no fim chegando a cos x=V(1/4)?

Sempre me confundo... Tem a ver com arcos, né?

Se alguém puder me ajudar, agradeço.

por **Elcioschin** Sex 11 Nov 2016, 20:25

Mostre a sua solução passo-a-passo para podermos opinar.

por anero1 Sex 11 Nov 2016, 21:41

Elcio, aqui está:

$sen^{4}-cos^{4}=\frac {1}{2}\\ (sen^{2}x)^{2}-(cos^{2}x)^{2}=\frac {1}{2}\\ (1-cos^{2}x)^{2}-(cos^{2}x)^{2}=\frac {1}{2}\\ 1-2cos^{2}x+cos^{4}x-(cos^{2}x)^{2}=\frac{1}{2}\\ 1-\frac{1}{2}=2cos^{2}x=>cos^{2}x=\frac{1}{4}\\ cos\;x=\frac{1}{2}\;ou\;cos\;x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{\Pi}{3}+2k\Pi \;ou\; x=\frac{2\Pi}{3}+2k\Pi$

Onde errei?