Geometria Analítica - Reta normal à elipse

Obtenha a condição para que a reta y = mx + c seja uma normal à elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. (A normal é definida como a reta perpendicular à tangente no ponto de tangência.)

Resposta: c^2[a^2 + (m^2)(b^2)] = m^2(a^2 - b^2)^2

Eis o caminho

x²/a²+ y²/b² = 1 ---> y = (b/a).(a² - x²)^1/2 ---> I

Derive, obtendo y' ---> y' = f'(x) é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à elipse

A reta tangente deve ser perpendicular à reta y = m.x + c (com coeficiente angular m)

Logo, devemos ter y'.m = - 1 ---> y' = - 1/m

Substitua o valor de y' encontrado anteriormente (em função de x) e calcule o valor de x²

Depois calcule o valor de y na equação da reta e calcule y²

Entre com os valores de x², y² na equação original da elipse e obtenha a equação procurada

Elcioschin escreveu:
Substitua o valor de y' encontrado anteriormente (em função de x) e calcule o valor de x²

Depois calcule o valor de y na equação da reta e calcule y²

Entre com os valores de x², y² na equação original da elipse e obtenha a equação procurada

Mestre, fiz a questão seguindo esses passos e cheguei perfeitamente no resultado.
Mas poderia me explicar por que você decidiu fazer esses passos que mencionei acima? Não consegui entender o porquê de decidir fazer essas substituições.

1) Seja o gráfico de uma função qualquer y = f(x) e um ponto P(x, y) deste gráfico

Neste caso o gráfico é uma elipse.
Desenhe a elipse com centro na origem e eixos 2.a e 2.b e plote um ponto P, por exemplo no 1º quadrante.
Trace uma reta t, tangente à elipse neste ponto, até encontrar o eixo x em M(k, 0)
Marque o ângulo θ entre o semi-eixo positivo x e esta reta t, no sentido trigonométrico. Neste caso, 
90º < θ < 180º
O valor tgθ é o coeficiente angular desta reta t

2) A derivada y' de uma função y em um ponto, nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função, neste ponto.

O termo "normal", no enunciado é o mesmo que "perpendicular
A reta r, perpendicular à elipse, no ponto P também é perpendicular à reta t, neste ponto.

Logo ---> m.y' = - 1 ---> y' = - 1/m

Aproveite e poste a sua solução para que outros usuários aprendam contigo!

Postarei sim a solução! Postarei num comentário abaixo.
Mas quanto a dúvida, quis me referir a próxima parte depois dessa que você comentou. Quando substituiu o x encontrado na equação da reta. Quem seriam o x e y descobertos? Seriam as coordenadas do ponto de tangência?

Vamos à resolução. Primeiro, transcrevendo as equações que temos:

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) e \(y=mx+c\)

\( i)\) Derivando implicitamente a equação da elipse para encontrar o coeficiente angular da reta tangente a ela:

\(x^2 b^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 \implies 2xb^2 + a^2 2y . y' = 0 \implies \boxed{y'=- \frac{b^2 x}{a^2 y}} (I)\)

\( ii)\) Da condição de perpendicularidade entre duas retas:

\(y' . m = -1 \implies - \frac{b^2 x}{a^2 y} . m = -1 \implies \boxed{x= \frac{a^2 y}{m b^2}}  (II)\)

\( iii)\) De \( (II) \) na equação da reta:

\(y= m . ( \frac{a^2 y}{m b^2}) + c \implies y (1- \frac{a^2}{b^2}) = c \implies \boxed{y = \frac{b^2 c}{b^2 - a^2}}  (III)\)

\( iv)\) \( (III) \) em \( (II) \), temos:

\( \boxed{ x= \frac{ a^2 c}{m(b^2 - a^2)}} (IV)\)

\( v) \) Finalmente, aplicando \( (III) \) e \( (IV)\) na equação da elipse, temos:

\( \frac{a^4 c^2} {m^2 (b^2 - a^2)^2} . \frac{1}{a^2} + \frac{b^4 c^2}{(b^2 - a^2)^2} = 1 \implies\)


\( \frac{a^2 c^2} {m^2 (b^2 - a^2)^2} + \frac{b^2 c^2}{(b^2 - a^2)^2} = 1 \implies\)


\(a^2 c^2 + m^2 b^2 c^2 = m ^2 (b^2 - a^2)^2 \therefore \boxed{c^2 (a^2 + m^2 b^2) = m^2 (a^2 - b^2)^2} \)

Contas pesadas, mas nada impossível. Qualquer dúvida nelas, só mandar!

Excelente!
Sim os valores de x, y são ponto de tangência da reta tangente com a elipse.

Perfeito. Agora todos os cálculos fizeram sentido.
Muito obrigado, Elcio!