Analise Combinatória FCMSC-SP

por Liliana Rodrigues Seg 16 maio 2016, 22:30

Se x e y são números naturais maiores que 1 e tais que:

Ax+y,2=56

Cx-y,2=1

então x.y é igual a:

Resposta:15

por **Christian M. Martins** Seg 16 maio 2016, 23:31

A_x+y,2 = 56

(x + y)!/(x + y - 2)! = 56
(x + y)(x + y - 1)~~(x + y - 2)!~~/~~(x + y - 2)!~~ = 56
(x + y)(x + y - 1) = 56
x² + xy - x + xy + y² - y = 56
x² + 2xy + y² - x - y = 56 (I)

C_x-y,2 = 1

(x - y)!/[2!(x - y - 2)!] = 1
(x - y)(x - y - 1)~~(x - y - 2)!~~/[2~~(x - y - 2)!~~] = 1
(x - y)(x - y - 1) = 2
x² - xy - x - xy + y² + y = 2
x² - 2xy + y² - x + y = 2 (II)

Subtraindo I de II:

(x² + 2xy + y² - x - y) - (x² - 2xy + y² - x + y) = 56 - 2
x² + 2xy + y² - x - y - x² + 2xy - y² + x - y = 54
4xy - 2y = 54
2xy - y = 27
y(2x - 1) = 27 (III)

Somando I a II:

x² + 2xy + y² - x - y + x² - 2xy + y² - x + y = 56 + 2
2x² + 2y² - 2x = 58
x² + y² - x = 29 (IV)

Basta resolver o resto do sistema aí.

por Liliana Rodrigues Ter 17 maio 2016, 09:25

Christian, eu entendi até a equação IV, mas chegando nela, travou... Parece que (x+y)(x-y) ≠ x²+y²

por **Christian M. Martins** Ter 17 maio 2016, 13:02

Eu fiz a última fatoração errada. Vou editar e você parte da equação de cima para resolver o sistema.

por **Elcioschin** Ter 17 maio 2016, 13:28

Existe um modo mais fácil, já que x, y são inteiros positivos:

(x + y).[(x + y) - 1] = 56 ---> Fatorando 56 temos (56, 1), (28, 2), (14, 4), 8, 7)

Fica óbvio que x + y = 8 ---> I

(x - y).[(x - y) - 1] = 2 ---> Único par: (2, 1) ---> x - y = 2 ---> II

I + II ---> 2.x = 10 ---> x = 5 ---> y = 3 --> x.y = 15