calcular medida segmento

Na figura, ABCD e um quadrado de lado 1, FE = 1, e os pontos AFE

estão alinhados.

Calcule a medida do segmento CE.


Gabarito
Muito Obrigada

1) Semelhança (Thales):

CF / AB = CE / (BC + CE)


2) Sejam:

CF ≡ y

CE ≡ x

AB = BC = EF = 1


3) De (2) em (1):

y / 1 = x / (1 + x)

y  = x / (1 + x)

x = y (1 + x)

x² = y²(1 + x)²


4) Pitágoras:

EF² = CE² + CF²

1 = x² + y²

y² = 1 - x²


5) De (3) e (4):

x² = (1 - x²)(1 + x)²

x² = (1 - x²) (1 + x² + 2x)

x² = 1 + x² + 2x - x² - x⁴  - 2x³

x² = 1 + 2x - 2x³ - x⁴

x⁴ + 2x³ + x² - 2x - 1 =  0

6) Algebrismos:

Para tirar os termos de 3º grau, faça:

w = x + 1/2

Agora a trabalheira é sua...

Obrigada!

Esta questão não é tão inocente quanto parece dona Nath. Só não entendi porquê você a postou em Trigonometria ao invés do fórum Geom. Plana, ou no de Álgebra (se formos partir para resolução via eq. quártica).

Se a memória não me falha, há muito tempo atrás o Luis Eduardo postou uma solução -- aliás, duas, porque o fez em duas abordagens diferentes -- dela neste fórum mas não encontrei agora.

Segue link de uma outra resolução.
http://cqd-mat.blogspot.com.br/2012/08/o-problema-do-quadrado-de-lado-1.html


Adendo:
Fatorando a eq. quártica (item 5 da resposta do Rihan acima) ficamos com:



O 2° termo fornece duas raízes imaginárias que não nos interessam.
O 1° termo tem as duas raízes reais mostradas no gráfico do Rihan, só a positiva aplica-se a esta questão.
É por esta forma de duas equações do segundo grau que entendo a grafia mais adequada para a resposta como sendo:

Perfeito seu comentário, Medeiros.

A questão é muito boa para exercitar e descobrir novos caminhos.

Como não sei qual a fonte da questão, se ela foi copiada exatamente como a original, quem é o autor e outras coisas mais, que, como sempre falei, deveriam constar da postagem, matutei sobre estar na subárea Trigonometria, os valores unitários das medidas...

Talvez seja um problema clássico, pois também me lembro já tê-lo resolvido...

Um problema antigo, sobre calcular as funções trigonométricas para estes ângulos desses marcantes triângulos...

Mas, em refletindo mais e mais, ressaltei, para mim mesmo, a estranha frase da questão:

"... e os pontos AFE estão alinhados. "

E fui arremetido para a Geometria Analítica e  a Álgebra Vetorial...

Estou tentando, então, a solução natural, que não contenha algebrismos "mágicos", somente usando procedimentos padronizados da Álgebra Linear, mas sempre procurando as analogias geométricas correspondentes.

Assim que me sentir satisfeito com a resolução, postarei.

Saudações curiosas !

Eu sou meio sem noção mesmo kkk Desculpa . É que o nome da lista de exercícios que eu tirei era funções trigonométricas então achei que era mais trigonometria. Copiei igual estava na lista, mas não sei o autor. :bounce: Muito Obrigada Medeiros e Rihan

Valeu NATH ! !

Mas você não tem nada com "sem noção" !

Você é muito esperta ! E tem bom humor, melhor ainda !   !

Além de ser uma hábil mineradora !  :study: !

Saudações trigonométricas !


PS : Agora estou usando complexos para tentar simplificar... Breve teremos notícias !

Muito Obrigada Rihan   Aguardando ansiosa mais uma maneira de resolver  :vfg:

NATHGOOL escreveu:... É que o nome da lista de exercícios que eu tirei era funções trigonométricas então achei que era mais trigonometria...

Do que dizes, constato duas coisas:
a) ainda bem que o título da lista de exercícios não era "questões históricas" senão você postaria no fórum de História! ;

b) você encontra listas de exercícios alhures, NÃO tenta resolver -- se o experimentasse perceberia, mediante as ferramentas que empregaria, a qual área são afetos -- e joga aqui para obter uma solução. Resumo: você coleciona resoluções.

Nada contra (quem sou eu...! ) mas gostei de saber.
Abs.

Usou umas palavras muito difíceis pra mim kk :bounce: quem dera se eu soubesse alguma resolução e só colocasse pra saber fazer de outra forma, mas não é isso. É que eu sou burra mesmo, eu gosto muito de matématica , física e química mas não sou boa As listas são de um cursinho. Como a lista tinha o nome de funções trigonométricas eu tentei usando trigonometria, não consegui e essa questão tava escrito desafio, então nem me esforcei muito pq não ia conseguir mesmo, nem pensei em outra forma