perpendicular ceviana triângulo

Em um triângulo retângulo ABC (reto em B),desde B

se traça una ceviana BD (D em AC) e desde C se levanta uma

perpendicular CH a essa ceviana,

Calcular HD se: AB = m, CH = n.

Ademais: ∠BAC = ∠DCH.



LETRA A. MUITO OBRIGADA

Há algo esquisito neste enunciado

Trace o triângulo com B na origem de um sistema xOy, sendo A no eixo y

Seja θ = BÂC = D^CH ---> B^CA = 90º - A

B^CH = B^CA + D^CH ---> B^CH = (90º - θ) + θ ---> B^CH = 90º

Sendo assim, só existe uma posição para o ponto D ---> D = C

Favor confira o enunciado, e, se for o caso, poste uma imagem dele escaneada

Desculpa de novo, o enunciado acho que tava em espanhol, eu já interpreto errado em português mesmo em outra língua então kk eu escrevi o que eu achava que era, talvez traduzi algo errado ou está errado mesmo o enunciado. Muito Obrigada por ainda responder minhas dúvidas  :aaa:

Sua tradução foi boa. Montei um desenho (à esquerda) para iniciar a resolução mas a deixei em suspenso porque vai consumir muitos neurônios -- provavelmente algum colega lhe dará continuidade.

Mas para apenas escolher uma alternativa, tenho um jeito malandro e tenho até vergonha de mostrar porque isto não é resposta que se apresente num fórum -- enfim, salva na hora do teste.
Supus, à direita, um triângulo retângulo isósceles (catetos = m). Nesta construção ocorrem as seguintes mudanças:
▪ a ceviana BD --> BA = m
▪ perpendicular CH --> CB -------> n = m
▪ x = HD = m
Somente as alternativas (a) e (b) levam à resposta HD = m. Porém como há apenas uma alternativa iniciando com "n" e três com "m", considero as chances com esta última.

Vou participar do concurso de "esperteza" com o Medeiros, aproveitando o desenho dele:

Seja α = 30º ---> 2.α = 60º ---> A^BD = 30º ---> C^DH = 60º ---> B^CH = 30º

∆ ABD ---> BÂD + A^BD + A^DB = 180º ---> 30º + 30º + A^DB = 180º --->

ADB = 120º

Para facilitar as contas, seja AC = 20 ---> BC = 10 ----> AB = m = 10.√3

Notem que BCD é equilátero ---> BC = CD = BD = 10 ---> AD = 10

Notem também que BD é mediana relativa à hipotenusa

CH = CD.cos30º ---> n = 10.(√3/2) ---> n = 5.√3

HD = CD.cosB^DC ---> x = 10.(1/2) ---> x = 5

Testando alternativa A

x = n.√[n/(2.m - n)] --> x = 5.√3.√[5.√3/(2.10.√3 - 5.√3) --> x = 5.√3.√(1/3) -->

x = 5 ---> Alternativa A OK

Muito Obrigada Medeiros e Elcioschin pela esperteza  

Élcio, meu amigo, essa paciência em fazer contas já é a "esperteza" verdadeira -- você VENCEU O CONCURSO !

Contudo, Nath e colegas, saliento que apenas escolhemos uma alternativa, a resolução formal da questão continua em aberto.

Bom dia!

Vou dar meus '2 cents' de contribuição, então

Aproveitando o desenho feito pelo Medeiros:
Os triângulos ABC e CHD são semelhantes.
No triângulo ABC, A=alpha e C=beta
No triângulo CHD, C=alpha e D=beta

Veja, então, que o triângulo BCD possui dois ângulos beta:
C=beta
D=beta

Portanto, o triângulo BCD é isósceles!

BC=BD=b (chamando de b)

Aplicando semelhança entre os triângulos ABC e CHD:
\\\frac{m}{b}=\frac{n}{x}\\x=\frac{n}{m}b

Segmento BH:
\\b-x=b-\frac{n}{m}b=b\left(1-\frac{n}{m}\right)

Aplicando pitágoras no triângulo CBH:
\\b^2=(b-x)^2+n^2\\b^2=\left[b\left(1-\frac{n}{m}\right)\right]^2+n^2\\b^2=b^2\frac{\left(m-n\right)^2}{m^2}+n^2\\b^2\left(1-\frac{(m-n)^2}{m^2}\right)=n^2\\b^2\left(\frac{m^2-m^2+2mn-n^2}{m^2}\right)=n^2\\b^2=\frac{m^2n^2}{2mn-n^2}\\b=\sqrt{\frac{m^2n^2}{2mn-n^2}}

Agora que temos b:
\\x=\frac{n}{m}b\\x=\frac{n}{m}\sqrt{\frac{m^2n^2}{2mn-n^2}}\\x=n\sqrt{\frac{n}{2m-n}}

Espero ter ajudado!

Muito bom, Baltuilhe! Agora está definitivamente resolvido.

Obrigado, Medeiros!!
Mas, como disse, usei o seu desenho!

Abraços!