Complexos

por **Claudir** Qui Mar 17 2016, 22:20

Considere os complexos z tais que: $|z+z^{-1}| = 1$ . Determine o valor máximo de módulo de z.

Spoiler:

por **Ashitaka** Sex Mar 18 2016, 01:49

|z + 1/z| = 1
Mas, pela desigualdade triangular, |z + 1/z| ≤ |z| + 1/|z|, donde concluímos que o valor máximo de |z + 1/z| ocorre quando a expressão é igual a |z| + 1/|z|.

|z + 1/z| = |z| + 1/|z| = 1

|z| + 1/|z| = 1
|z|² - |z| + 1 = 0
|z| = (1 + √5)/2

por **Carlos Adir** Sex Mar 18 2016, 02:18

Temos:
$\\ \mathrm{z=|z| \cdot cis \left(\theta\right)} \\ \mathrm{z^{-1}=\dfrac{1}{|z|} \cdot cis \left(-\theta \right )} \\ \mathrm{z+z^{-1}=cos \theta\left(|z|+\dfrac{1}{|z|} \right )+i\cdot \left(|z|-\dfrac{1}{|z|} \right )\cdot sen \theta} \\ \mathrm{|z+z^{-1}| = \dfrac{\sqrt{(|z|^2+1)^2cos^2\theta +(|z|^2-1)^2sen^2\theta}}{|z|}=1}$

Aqui vai uma abordagem diferente:
$\\ \mathrm{Sabe-se \ que \ e^{i\theta} = cis \theta = cos \theta + i \cdot sen \theta} \\ \mathrm{E \ que \ e^{x+i\theta}=e^x \cdot e^{i\theta}=e^x \cdot cis \theta} \\ \mathrm{Deste \ modo, \ temos:} \\ \begin{cases}\mathrm{e^{i\theta}=cos \theta + i \cdot sen \theta} \\ \mathrm{e^{-i\theta}=cos \theta - i \cdot sen \theta} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\mathrm{cos \theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=cosh\left(i\theta \right )} \\ \mathrm{sen \theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=\dfrac{senh(i\theta)}{i}} \end{cases}$
Agora, vamos nos atentar em descobir mais algumas coisas analizando z:
$\\ \mathrm{z = |z| \cdot cis \theta = |z| \cdot e^{i \theta} = e^{\ln |z|} \cdot e^{i\theta}=e^{|z|+i\theta}} \\ \mathrm{E \ que \ z+z^{-1} \ parece \ com \ cosh \ x:} \\ \mathrm{Se \ z = e^x \Rightarrow x = \ln (z) \Rightarrow z + z^{-1} = 2cosh \left(\ln z \right )}$
Sabendo então da relação:
$\mathrm{cosh\left(a+bi \right )=cosh\left(a \right )cosh\left(bi \right )+senh(a)senh(bi)}$
Podemos então:
$\mathrm{\ln z = \ln \left(|z| \cdot e^{i\theta}\right)=\ln |z| + i\theta}$
$\\ \mathrm{cosh(\ln |z|+i\theta)=cosh\left(\ln|z| \right )cosh\left(i\theta \right )+senh(ln|z|)senh(i\theta)=} \\ \mathrm{=\left(\dfrac{e^{\ln|z|}+e^{-\ln|z|}}{2} \right )\cdot cos(\theta)+\left(\dfrac{e^{\ln |z|}-e^{-\ln|z|}}{2} \right )\cdot i \cdot sen \theta=} \\ \mathrm{=\dfrac{|z|^2+1}{2|z|}cos\theta+\dfrac{|z|^2 - 1}{2|z|}\cdot i \cdot sen \theta}$
$\mathrm{z+z^{-1}=\dfrac{|z|^2+1}{|z|}cos\theta+\dfrac{|z|^2 - 1}{|z|}\cdot i \cdot sen \theta}$
Agora que temos o complexo dado(z+z^(-1)) em função do módulo do complexo e do ângulo, então podemos usar o módulo:
$\\ \mathrm{|z+z^{-1}|=\sqrt{\left(\dfrac{|z|^2+1}{|z|}cos\theta \right )^2+\left(\dfrac{|z|^2 - 1}{|z|} \cdot sen \theta \right )^2}=} \\ \mathrm{=\dfrac{\sqrt{|z|^4+2|z|^2\left(cos^2\theta-sen^2\theta \right )+1}}{|z|}=\dfrac{\sqrt{|z|^4+2|z|cos2\theta + 1}}{|z|}}$
$\\ \mathrm{\dfrac{\sqrt{|z|^4+2|z|^2cos2\theta + 1}}{|z|} = 1} \\ \mathrm{|z|^4+2|z|^2cos2\theta + 1 = |z|^2} \\ \mathrm{|z|^4+|z|^2\left(2cos 2\theta - 1 \right )+ 1 = 0} \\ \mathrm{|z|^2 = \dfrac{1-2cos2\theta \pm \sqrt{4cos^22\theta-4cos2\theta-3}}{2}}$
E chegamos na expressão acima.
Aqui eu derivaria e ficaria enorme. Realmente a solução do Ashitaka ficou melhor

Brincar com os complexos nem sempre é tão facil e pode ser demorado por outros caminhos Laughing

por **Claudir** Sáb Mar 19 2016, 01:49

A solução do Ashitaka é inclusive a do autor, no livro, eu só não havia notado que ele utilizou a desigualdade triangular, pois ele não indicou isso.

Carlos Adir, eu tentei ir por esse caminho também... hahah Laughing

Valeu galera!

por **Ashitaka** Sáb Mar 19 2016, 02:39

Ahhhhh é verdade, tem esse exercício no livro do Caio Guimarães. Lembro que na época eu não entendi a solução dele também e meio que deixei pra lá.
E agora minha solução coincidiu com a dele, que engraçado.

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