Complexos
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Complexos
por mahriana Qui 23 maio 2013, 15:01
Mostre que sendo z1 , z2, z3 números complexos quaisquer, então :
|z1 + z2+z3| ≤ |z1| + |z2| + |z3|
|z1 + z2+z3| ≤ |z1| + |z2| + |z3|
mahriana- Recebeu o sabre de luz
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Re: Complexos
por JOAO [ITA] Qui 23 maio 2013, 17:20
OBS: Denotarei o conjugado de 'z' por z*.
|z1 + z2 + z3|² = (z1 + z2 + z3).(z1* + z2* + z3*) <=>
<=>|z1 + z2 + z3|² = (z1.z1*) + (z2.z2*) + (z3.z3*) +(z1.z2* + z2.z1*) + (z1.z3* +z3.z1*) + (z2.z3* + z3.z2*) <=>
<=> |z1 + z2 + z3|² = |z1|² + |z2|² + |z3|² + 2.Re(z1).Re(z2) + 2.Re(z1).Re(z3)+ 2.Re(z2).Re(z3) <=>
<=> |z1 + z2 + z3|² = |z1|² + |z2|² + |z3|² +2.(Re(z1).Re(z2) + Re(z1).Re(z3)+ Re(z2).Re(z3)) ≤ |z1|² + |z2|² + |z3|² + 2.(|z1|.|z2| + +|z1|.|z3| + |z2|.|z3|) =>
=> |z1 + z2 + z3|² ≤ (|z1| + |z2| + |z3|)² <=>
<=>|z1 + z2 + z3|≤ |z1| + |z2| + |z3|
C.q.d
|z1 + z2 + z3|² = (z1 + z2 + z3).(z1* + z2* + z3*) <=>
<=>|z1 + z2 + z3|² = (z1.z1*) + (z2.z2*) + (z3.z3*) +(z1.z2* + z2.z1*) + (z1.z3* +z3.z1*) + (z2.z3* + z3.z2*) <=>
<=> |z1 + z2 + z3|² = |z1|² + |z2|² + |z3|² + 2.Re(z1).Re(z2) + 2.Re(z1).Re(z3)+ 2.Re(z2).Re(z3) <=>
<=> |z1 + z2 + z3|² = |z1|² + |z2|² + |z3|² +2.(Re(z1).Re(z2) + Re(z1).Re(z3)+ Re(z2).Re(z3)) ≤ |z1|² + |z2|² + |z3|² + 2.(|z1|.|z2| + +|z1|.|z3| + |z2|.|z3|) =>
=> |z1 + z2 + z3|² ≤ (|z1| + |z2| + |z3|)² <=>
<=>|z1 + z2 + z3|≤ |z1| + |z2| + |z3|
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