Tetraedro num cubo

por Gustavoadp Seg 29 Fev 2016, 09:49

Com os vértices A, B, C e D de um cubo de aresta a, construiu-se um tetraedro regular, como mostra a figura abaixo:
[img] Tetraedro num cubo 2pt9c9z

[/img]

por **Elcioschin** Seg 29 Fev 2016, 14:23

Seja E o vértice à esquerda de A e abaixo de C e sejo O o centro do triângulo equilátero ACD:

AB = AC = AD = BD = CD = a.√2
BE = a.√3

Área de ACD ---> S(ACD) = AC².√3/4 ---> S(ACD) = (2.a²).√3/4 ---> S(ACD) = a².√3/2

Volume de EACD ---> V = S(ACD).OE/3 = (a².√3/2).OE/3 = OE.a².√3/6 ---> I

Idem ---> V = S(EAD).EC/3 = (AE.DE/2).EC/3 = a³/6 ---> II

I = II ---> OE.a².√3/6 = a³/6 ---> Calcule OE

OB = BE - OE ---> Calcule OB

V(ABCD) = S(ABC).OB/3 ---> Calcule

por **Medeiros** Ter 01 Mar 2016, 01:28

Outro modo.

Cortando-se o cubo pelas faces do tetraedro, destacamos 4 pirâmides congruentes cujo volume de cada uma é:
Vp = (1/3)*(a²/2)*a = a³/6

O volume do tetraedro será o do cubo menos o das 4 pirâmides.
Vt = Vc - 4*Vp
Vt = a³ - 4*a³/6 --------> Vt = a³/3

===> Vt/Vc = 1/3

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