Lugar Geométrico da Escada

Relembrando a primeira mensagem :

Uma escada encontra-se inicialmente estática na vertical contra uma parede. Sua extremidade inferior é golpeada fazendo com que a escada deslize para baixo. Assuma que a extremidade inferior mantenha contato com o chão e a superior com a parede. Descreva o lugar geométrico do envelope das posições da escada. 

Não tenho o gabarito. Meu professor vai dar a resposta quarta-feira.

Definição do meu professor (a dica que ele deu): Envelope é a posição de todos os pontos, em uma inclinação A da escada, que não mudam para uma pequena mudança de A.

ainda nao sei quem esta certo  

Medeiros escreveu:essa segunda solução você acrescentou depois de me dar a resposta; depois a vejo com calma.

De qualquer forma, entendo que, por terem mesmo resultado, ambas as soluções não atendem ao exercício pois, conforme o Élcioschin calculou e eu desenhei, o trajeto do ponto médio da escada é uma circunferência. Se desenharmos a escada a 45º vemos que seu ponto médio fica fora das curvas apresentadas nas respostas.

Noto que o gráfico do Euclides fornece a posição correta.

Mestre Medeiros, avaliando o problema... Cada ponto P da escada descreve uma elipse (já confirmei isso) exceto o ponto médio, que descreve uma circunferência. A curva tangente a todas essas elipses será a de equação x^(2/3) + y^(2/3) = L, no caso L é o comprimento da escada. Achei essa definição na internet: "By definition, each point P of the envelope is a point of tangency to some member of the family of curves, and each member of the family is tangent to the envelope at some point P". Isso não validaria o meu cálculo?

Gilberto

O que o Medeiros disse é que a equação do lugar geométrico deve passar por TODOS os pontos da escada, nos pontos de tangência, inclusive pelo ponto médio da escada. Se a sua equação não passa pelo ponto médio, não é a equação correta.

Além disso, você concorda que o LG é uma elipse. Acontece que sua equação NÃO é a equação de uma elipse que deveria ser do tipo
Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

A circunferência x² + y² = 2,5² é tangente à elipse.

Foi feita uma tradução errada do inglês "envelope": a tradução correta é:

Envoltória = curva tangente a cada curva de uma família monoparamétrica de curvas.

Por favor, mestre Elcioschin, o senhor poderia me explicar esse link?

http://mathworld.wolfram.com/EllipseEnvelope.html

No caso do ponto médio, quando a distância é c = 1/2, a equação também é válida, basta ver os cálculos desse site.

Obrigado desde já!

Edit... Esqueci de falar que não concordei que o lugar geométrico é o de uma elipse. Os pontos da escada (exceto o ponto médio) descrevem elipses e a curva tangente a essas elipses é a que obtive (foi o que entendi do wolfram).

Elcioschin escreveu:Foi feita uma tradução errada do inglês "envelope": a tradução correta é:

Envoltória = curva tangente a cada curva de uma família monoparamétrica de curvas.

Perdao, nao tenho muita afinidade com o ingles (ainda)

Só deixando claro meu pensamento...

Cada ponto P distante l unidades do ponto A na figura, quando a escada desliza, descreve uma elipse (vou provar). O ponto médio é o único para o qual isso não ocorre, pois este descreve uma circunferência (vou provar). A curva "tangente a escada" seria, na minha opinião, a curva tangente as trajetórias dos pontos da escada. Em outras palavras, a curva tangente as elipses E a circunferência descrita pelo ponto médio.



Na figura, a distância AB é 1, só para simplificar. A distância PA é l (generalizando). Por semelhança, obtemos:

 \frac{x}{\sqrt{(1-l)^{2}-y^{2}}}=\frac{\sqrt{l^{2}-x^{2}}}{y}

 x^{2}y^{2}=(l^{2}-x^{2})(l^{2}-2l+1-y^{2})

 \frac{x^{2}}{l^{2}}+\frac{y^{2}}{(1-l)^{2}}=1

A equação acima, como vocês sabem, é a de uma elipse. Notem que para l = 1/2, temos a circunferência  x^{2}+y^{2}=\frac{1}{4} .

Algumas dessas elipses estão representadas na figura.



A curva x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1 é tangente a todas essas elipses e a circunferência.

Gilberto,

Este gráfico de agora é diferente do que você apresentou antes.
Não fiz contas -- e nem me interessei por que não me ficou claro qual a solicitação do enunciado -- e não tenho como plotar gráficos mas vou lhe dizer o que observei.

1) seu primeiro gráfico
A escada tem tamanho 10. Coloquei-a a 45° e observei a posição do seu ponto médio. Este ponto, e grande parte da escada, ficam fora da envoltória que deveria ser tangente a tudo.
Portanto se este gráfico reflete a equação obtida, esta não atende. Este gráfico me dá a impressão de que a escada não tem tamanho constante, que se dá um passo na vertical simultâneo a um na horizontal e se traça a reta.


2) gráfico do Euclides
A escada tem tamanho 5 e fiz o mesmo procedimento. Verifica-se que atende plenamente. A escada tem tamanho constante em todas as posições.


3) seu segundo gráfico
É a família de elipses conforme seus cálculos. Também coloquei nele a escada, que tem tamanho 10, e marquei a circunferência referente ao ponto médio (M). Mas, neste, a curvatura da possível envoltória (desenhei grosseiramente) é diferente do anterior. Para este, a envoltória atende -- pelo menos aquilo que entendíamos ser solicitado pelo enunciado.

A questão que fica é se a equação x^(2/3) + y^(2/3) = 1 fornece a envoltória desse segundo gráfico.
Eu particularmente gostaria de ver as contas com o "envelope" para a seguinte situação: escada = 5 m; na posição 45° temos que no meio da escada x=2,5/√2; joga-se esse valor de x na fórmula é obtém-se o valor de y.

Algumas curiosidades sobre a curva x^2/3 + y^2/3 = 1

Esta curva é denominada astróide ou tetracúspide

Além do termo "envoltória", talvez possa ser usado também os termos "evolvente" ou "involuta":

evolvente = 1. Lugar geométrico de um ponto fixo sobre uma tangente que rola, sem deslizar, em torno de uma curva fixa, plana ou reversa; curva cujas normais são tangentes a outra curva. 2. Superfície de cuja evoluta outra superfície é um dos dois ramos; involuta

A circunferência descrita pelo ponto médio da escada é uma circunferência; acontece que a circunferência nada mais é do que uma elipse degenerada em que a = b = R

Antes de qualquer coisa, agradeço muito aos mestres por me darem atenção. 

Mestre Medeiros, fazer esse tipo de curva "no dedo" não é aconselhável, é muito fácil errar. 

Acredito que o Muá queira a envoltória (só acredito). Nesse caso, eu estou certo, vejam os links abaixo, um inclusive sendo do geogebra.

http://www.geogebra.org/m/67909
http://www1.american.edu/academic.depts/cas/mathstat/People/kalman/pdffiles/ladderprob.pdf

Veja o primeiro link mestre Medeiros. O senhor, por utilizar o método "no dedo", errou grosseiramente a posição da escada.

Desculpem toda a confusão. Aqui o enunciado original (em ingles). A lista do meu professor tem algumas questoes internacionais, essa é uma delas.

A ladder initially stands vertically against a wall. Its bottom end is given a sideways kick, causing the ladder to slide down. Assume that the bottom end is constrained to keep contact with the ground, and the top end is constrained to keep contact with the wall. Describe the envelope of the ladder’s positions.

Obviamente minha tradução falhou.