Geometria Plana

por ALDRIN Ter 09 Nov 2010, 12:27

A figura mostra um triângulo retângulo ABC e três quadrados, ABFG, ACIH e BCDE, construídos sobre os lados desse triângulo.
Geometria Plana Figuraa

Com base nos dados da figura e nos seus conhecimentos de geometria, julgue os itens que se seguem.

(1) A área do quadrado ABFG é o dobro da área do triângulo BFC.
(2) A área do retângulo BKJE é o dobro da área do triângulo BAC.
(3) A área do quadrado ACIH é superior à área do retângulo CDJK.

Spoiler:

por **adriano tavares** Ter 09 Nov 2010, 16:47

Olá,Aldrin.

Geometria Plana Figuraa

(1) --> Certo

Primeiro vamos mostrar que os triângulos FBC e ABE são iguais.

AB = FB ---> são lados de um mesmo quadrado

BC = BE --> são lados de um mesmo quadrado

Os ângulos FBC e ABE são iguais, pois ambos são formados por um ângulo reto e um ângulo comum ABC.

$A_{ABFG}=FB.BA$

$A_{FBC}=\frac{FB.BA}{2}$

$A_{ABFG}=2A_{FBC}$

(2) Errado.

Vamos calcular a área do retângulo e notar uma coisa importante.Primeiro vamos calcular o valor de BK utilizando as relações métricas no triângulo retângulo.

$(AB)^2=BC.BK \Rightarrow BK=\frac{(AB^2)}{BC}$

Calculando agora a área do retângulo BJKE teremos:

$A_{BJKE}=BC.BK \Rightarrow A_{BJKE}=BC.\frac{(AB)^2}{BC}\Rightarrow A_{BJKE}=(AB)^2$

A área do retângulo BJKE é igual a área do quadrado ABFG.

Vamos chamar os lados do triângulo ABC de:

AB=b

AC=c

BC=a

A sua área é dada por:

$A_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow A_{ABC}=\frac{b.\sqrt{a^2-b^2}}{2}$

$A_{BJKE}=b^2$

Analisando as duas áreas verifica-se que a afirmação está errada

(3) --> errado

Podemos de maneira análoga calcular KC utilizando novamente as relações métricas.

$(AC)^2=BC.KC \Rightarrow KC=\frac{(AC)^2}{BC}$

Calculando a área do retângulo teremos:

$A_{CDJK}=BC.KC \Rightarrow A_{CDJK}=BC.\frac{(AC)^2}{BC}\Rightarrow A_{CDJK}=(AC)^2$

Logo, conclui-se que ambas as áreas são iguais.

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