BASE DE R²

Primeiro precisamos mostrar que os vetores (-1,-4) e (3,2) são linearmente independentes. 
Eles são LI, aconselho a você mostrar isso.


Agora precisamos mostrar que todos os vetores do R², podem ser escritos como combinação linear destes.

Sendo o vetor (x,y) um vetor genérico de R², precisamos encontrar a, b tal que a seguinte igualdade seja satisfeita:

(x,y) = a(-1,-4) + b(3,2)
(x,y) = (-a, -4a) + (3b, 2b)
(x,y) = (-a+3b, -4a+2b)
 Da igualdade de vetores caímos no seguinte sistema linear:

-a+3b=x
-4a+2b=y

Resolvendo o sistema, encontramos:
a = (2x - 3y)/10
b = (4x-y)/10

Logo qualquer vetor (x,y) do R² pode ser escrito como:
(x,y) = (2x-3y)/10*(-1,-4) + (4x-y)/10*(3, 2)

Logo o conjunto A é base de R²