Integral definição

por Ivoski Qui 04 Nov 2010, 10:55

integral sen(x) cos(x) dx
esta integral resolve por substituição
mas pergunto?
posso fazer u= sen x e du= cos x dx
e posso fazer u = cosx e du = -sen x
como faço esta escolha???

por **Elcioschin** Qui 04 Nov 2010, 11:35

Ivoski

Não existem regras para fazer a escolha; somente a experiência e o bom senso levem a uma escolha mais adequada.

Int[u*dv] u*v - Int[v*du]

Queremos resolver Int[senx*cosx*dx]

Possibilidades de escolher dv:

1) dv = dx ----> v = x ---> u = senx*cosx ----> du = cos(2x)*dx

2) dv = senx*dx ----> v = - cosx -----> u = cosx ----> du = - senx*dx

3) dv = cosx*dx ----> v = senx ----> u = senx ----> du = cosx*dx

Continue agora e veja qual das três soluções conduz a Int[v*du] mais fácil de resolver

por Ivoski Qui 04 Nov 2010, 22:39

Obrigado!
Entendi...
...mas eu ate tinha pensado que era por substituição
pois pensei que dava pra fazer assim:
integral senx cosx dx
fiz u=senx e du=cosx dx du/(cosx)=dx
ai ficou int u cosx. du/cosx
corta os cosx e fica int u du
logo u² / 2 +C
sen² / 2 + C
mas vc vez por partes
mas como sei se é por partes ou substituição.

por **Euclides** Sex 05 Nov 2010, 00:23

Como já disse o Élcio, não há regras para essas escolhas. Os melhores guias são a experiência e o bom-senso. Quando dois métodos são possíveis, escolha o que leva a uma integral mais fácil.

por substituição:

$\\\int senx.cosx.dx\,\,\,\begin{cases}senx=u\to du =cosxdx\end{cases}\\\\\int senx.cosx.dx=\int u.du=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{2}sen^2x$

por outro lado, por partes:

$\\\int senx.cosx.dx\,\,\,\begin{cases}senx=u\to du =cosxdx\\cosx =dv\to v=senx\end{cases}\\\\\int senx.cosx.dx=uv-\int v.du= sen^2x-\int senxcosxdx \\\\2\int senx.cosx.dx=sen^2x\\\\\int senx.cosx.dx=\frac{1}{2}sen^2x$

a escolha é do calculista...

por Ivoski Sex 05 Nov 2010, 07:25

Obrigado
mas porque o site http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+senx+cosx
da a o resultado:
1/2 cos²x + C ?

por **Euclides** Sex 05 Nov 2010, 13:19

Uma integral pode ter resultados diferentes dependendo da escolha que se faça. Expressões diferentes, mas equivalentes sob o ponto de vista do cálculo integral (área sob a curva).

Na integral em questão, se tivéssemos feito outra escolha teríamos:

$\\\int senx.cosx.dx\,\,\,\to\,\,\,cosx=u\to du=-senx\\\\\int senx.cosx.dx=-\int u.du=-\frac{1}{2}cos^2x+C$

Veja, entretanto, que o valor da integral definida entre dois pontos é o mesmo:

$\\\left (\frac{1}{2}sen^2x \right )_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left ( sen^2\frac{\pi}{2}-sen^20 \right )=\frac{1}{2}\\\\\\\left (-\frac{1}{2}cos^2x \right )_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{2}\left ( cos^2\frac{\pi}{2}-cos^20 \right )=\frac{1}{2}$

Por isso quando obtivermos um resultado diferente do que apresenta o Wolfran, isso não quer dizer necessariamente que erramos.