Algebra I - (provar afirmação)

por Josevalbj Sáb 30 Out 2010, 02:54

Prove a afirmaçãoDados a e b números naturais, tem-se que mdc(mdc(a; b); mmc(a; b)) = mdc(a; b)
e mmc(mdc(a; b); mmc(a; b)) = mmc(a; b).

por **fantecele** Dom 27 maio 2018, 18:05

1) mdc(mdc(a; b); mmc(a; b)) = mdc(a; b)

É sabido que se mdc(a,b) = d, sendo a,b inteiros e c um inteiro não nulo, então mdc(ac,bc) = d|c|.
É sabido também que mdc(a,b).mmc(a,b) = |ab|

Dessa forma no exercício:

mdc(mdc(a; b); mmc(a; b))
mdc(mdc(a;b); (ab)/mdc(a;b))

Sendo mdc(a;b) = d podemos escrever a = a'.d e b = b'd, substituindo logo ali em cima:

mdc(d; (a'db'd)/d)
d.mdc(1;a'b') = d = mdc(a;b)

2) mmc(mdc(a; b); mmc(a; b)) = mmc(a; b)

Dado a,b e c não nulos, mmc(ka,kb) = |k|.mmc(a,b).
mdc(a,b).mmc(a,b) = |ab|

No exercício:

Sendo d = mmc(a;b), temos que d = a.m e d = b.n.

mmc(mdc(a; b); mmc(a; b))
mmc((ab)/d;d)
mmc(d²/(mnd);d)
d.((1/mn);1) = d = mmc(a;b)